若 lim_(x to 0) (f(2x))/(x) = 2，则 lim_(x to infty) xf((1)/(2x)) = ( )A. (1)/(4)B. (1)/(2)C. 2D. 4

考查要点：本题主要考查极限的变量替换技巧及等价无穷小的运用。关键在于将已知条件中的函数形式与所求极限中的函数形式建立联系。

解题思路：

1. 变量替换：通过将已知条件中的变量替换为新变量，将原式转化为更易处理的形式，从而得到$f(u)$在$u \to 0$时的近似表达式。
2. 极限转化：对所求极限进行变量替换，将$x \to \infty$转化为$t \to 0$，从而将问题转化为已知条件中的形式。
3. 代入已知结果：利用已知的极限结果直接计算最终结果。

破题关键：通过变量替换，将所求极限与已知条件中的极限形式统一，进而利用等价无穷小的性质求解。

已知条件：$\lim_{x \to 0} \frac{f(2x)}{x} = 2$
目标：求$\lim_{x \to \infty} x f\left(\frac{1}{2x}\right)$

步骤1：处理已知条件

令$u = 2x$，则当$x \to 0$时，$u \to 0$，且$x = \frac{u}{2}$。代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(2x)}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{f(u)}{\frac{u}{2}} = \lim_{u \to 0} \frac{2f(u)}{u} = 2$
两边同时除以2，得：
$\lim_{u \to 0} \frac{f(u)}{u} = 1$
这表明当$u \to 0$时，$f(u) \sim u$（即$f(u)$与$u$是等价无穷小）。

步骤2：处理目标极限

令$t = \frac{1}{2x}$，则当$x \to \infty$时，$t \to 0^+$，且$x = \frac{1}{2t}$。代入目标极限：
$\lim_{x \to \infty} x f\left(\frac{1}{2x}\right) = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2t} f(t)$
根据已知$\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t} = 1$，可得：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{2t} = \frac{1}{2}$