lim _(n arrow infty) n((1)/(1+n^2)+(1)/(2^2)+n^(2)+...+(1)/(n^2)+n^(2))= _____.

本题考查知识点为利用定积分的定义求极限。解题思路是先将原式变形为黎曼和的形式，再根据定积分的定义将黎曼和转化为定积分进行计算。

1. 将原式变形为黎曼和的形式：
   已知原式为$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{1+n^{2}}+\frac{1}{2^{2}+n^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n^{2}}\right)$，可将其写成求和形式$\lim_{n \to \infty} n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2 + n^2}$。
   为了将其转化为黎曼和的标准形式$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})$，对$\lim_{n \to \infty} n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2 + n^2}$进行变形，分子分母同时除以$n^2$可得：
   $\lim_{n \to \infty} n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2 + n^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1}$
   此时，该和式为函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$在区间$[0, 1]$上的黎曼和，其中$\frac{k}{n}$为区间$[0, 1]$的第$k$个分点，$\frac{1}{n}$为每个小区间的长度。
2. 根据定积分的定义将黎曼和转化为定积分：
   根据定积分的定义，若函数$f(x)$在区间$[a, b]$上可积，则$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})=\int_{a}^{b} f(x)dx$。
   对于$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1}$，$a = 0$，$b = 1$，$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，所以$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1}=\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$。
3. 计算定积分：
   根据积分公式$\int \frac{1}{x^2 + 1}dx = \arctan x + C$（$C$为常数），可得：
   $\int_0^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \left[ \arctan x \right]_0^1$
   根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)$，则$\left[ \arctan x \right]_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0$。
   因为$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，$\arctan 0 = 0$，所以$\arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$。