函数 f(x) = (1)/(x-3) + (ln(x-1))/(sqrt(x+1)) 的定义域是 ( )A. (-1, +∞)B. (1, +∞)C. (-1, 3) ∪ (3, +∞)D. (1, 3) ∪ (3, +∞)

我们来一步一步分析函数
$f(x) = \frac{1}{x-3} + \frac{\ln(x-1)}{\sqrt{x+1}}$
的定义域。

第一步：理解定义域的含义

定义域是指使得函数表达式有意义的所有实数 $ x $ 的集合。
我们需要分别分析函数中每一部分的限制条件，然后取所有条件同时满足的部分。

函数由两部分组成：

1. $ \frac{1}{x-3} $
2. $ \frac{\ln(x-1)}{\sqrt{x+1}} $

我们逐个分析每一部分的定义域限制。

第二部分分析：$ \frac{1}{x-3} $

这个分式有意义的条件是：分母不能为零。

所以：
$x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$

第三部分分析：$ \frac{\ln(x-1)}{\sqrt{x+1}} $

这个表达式包含两个部分：

• $ \ln(x-1) $：对数函数
• $ \sqrt{x+1} $：平方根函数，且在分母上

我们分别分析：

1. $ \ln(x-1) $ 的定义域

对数函数 $ \ln(u) $ 要求真数 $ u > 0 $，所以：
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

2. $ \sqrt{x+1} $ 的定义域

平方根函数要求被开方数 $ \geq 0 $，所以：
$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$

但注意：这个平方根在分母上，所以不能为零！

即：
$\sqrt{x+1} \ne 0 \Rightarrow x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$

所以综合平方根在分母的条件：
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$

（因为既要 $ \geq 0 $，又不能等于 0，所以必须 $ > 0 $）

综合所有条件

我们现在汇总所有限制条件：

1. 从 $ \frac{1}{x-3} $：$ x \ne 3 $
2. 从 $ \ln(x-1) $：$ x > 1 $
3. 从 $ \sqrt{x+1} $ 在分母：$ x > -1 $

现在取这些条件的交集：

• $ x > -1 $
• $ x > 1 $ → 这比 $ x > -1 $ 更强，所以优先满足 $ x > 1 $
• $ x \ne 3 $

所以最终定义域是：
$x > 1 \quad \text{且} \quad x \ne 3 \Rightarrow (1, 3) \cup (3, +\infty)$

最终答案：

$\boxed{\text{D. } (1, 3) \cup (3, +\infty)}$

✅ 答案：D