设方程(x)/(y)=ln(z)/(y)确定了隐函数z=z(x,y)，则(partial z)/(partial x)=(）A. -(z)/(y)B. (z)/(y)C. -(x)/(y)D. (x)/(y)

本题考查隐函数求偏导数的知识。解题思路是通过对给定方程两边同时关于$x$求偏导数，然后利用复合函数求导法则进行计算，最后解出$\frac{\partial z}{\partial x}$。

已知方程$\frac{x}{y}=\ln\frac{z}{y}$，因为$y$看作常数，对等式两边同时关于$x$求偏导数：

• 等式左边$\frac{x}{y}$关于$x$求偏导数，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，这里$n = 1$，可得$(\frac{x}{y})^\prime=\frac{1}{y}$。
• 等式右边$\ln\frac{z}{y}$关于$x$求偏导数，根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$u=\frac{z}{y}$，则$(\ln\frac{z}{y})^\prime = (\ln u)^\prime\cdot u^\prime$。
  • 先对$\ln u$关于$u$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}$。
  • 再对$u=\frac{z}{y}$关于$x$求导，因为$y$是常数，所以$u^\prime = \frac{1}{y}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}$。
  • 那么$(\ln\frac{z}{y})^\prime = \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\frac{z}{y}}\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}$。

此时得到等式$\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}$，解这个等式求$\frac{\partial z}{\partial x}$，等式两边同时乘以$z$，可得$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z}{y}$。