7.(2020)函数 (x)=dfrac (x{(x-1))^2}(sin x) 间断点的个数为 (-|||-A.0个 B.1个 C.2个

考查要点：本题主要考查函数间断点的判断，涉及分式函数分母为零的情况及极限存在性分析。

解题核心思路：

1. 确定分母为零的点：$\sin x = 0$，解得$x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。
2. 分析分子在这些点的值：
   • 当$x = 0$时，分子为$0$，需进一步判断是否存在极限。
   • 当$x = k\pi$（$k \neq 0$）时，分子不为$0$，直接导致无穷间断点。
3. 判断间断点类型：
   • $x = 0$处极限存在，为可去间断点。
   • $x = k\pi$（$k \neq 0$）处极限不存在，为无穷间断点。

关键结论：函数$f(x)$的间断点为$x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$），总数为无穷多个。

步骤1：确定分母为零的点

分母$\sin x = 0$的解为：
$x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

步骤2：分析分子在这些点的值

• 当$k = 0$时，$x = 0$，分子为$0 \cdot (-1)^2 = 0$。
• 当$k \neq 0$时，$x = k\pi$，分子为$k\pi \cdot (k\pi - 1)^2 \neq 0$。

步骤3：判断间断点类型

1. $x = 0$处：

   • 当$x \to 0$时，$\sin x \approx x$，函数可化简为：
     $f(x) = \frac{x(x-1)^2}{\sin x} \approx \frac{x(x-1)^2}{x} = (x-1)^2$
   • 极限值为$\lim_{x \to 0} (x-1)^2 = 1$，但$f(0)$未定义，故为可去间断点。

2. $x = k\pi$（$k \neq 0$）处：

   • 分子不为$0$，分母为$0$，函数值趋于无穷，故为无穷间断点。

步骤4：统计间断点个数

• $x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）共有无穷多个间断点。