题目
53.设f(x)在区间[2,3 ]上连续,(2,3)内可导,且 in (2,3) 时 (x)neq 0 , (2)=1, (3)=dfrac (3)(2). 证明:存-|||-f(2)=1-|||-在实数 xi in (2,3), 使得 dfrac ({S)_(f')(xi )}(f(xi ))=1.
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x) = \frac{f(x)}{e^x}$，其中 $f(x)$ 在区间 $[2,3]$ 上连续，在 $(2,3)$ 内可导，且 $f(x) \neq 0$。
步骤 2：计算辅助函数的值
计算 $F(2)$ 和 $F(3)$ 的值：
$$
F(2) = \frac{f(2)}{e^2} = \frac{1}{e^2}
$$
$$
F(3) = \frac{f(3)}{e^3} = \frac{3/2}{e^3} = \frac{3}{2e^3}
$$
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[2,3]$ 上连续，在 $(2,3)$ 内可导，且 $F(2) = F(3)$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (2,3)$，使得 $F'(\xi) = 0$。
步骤 4：计算 $F'(\xi)$
计算 $F'(x)$：
$$
F'(x) = \frac{f'(x)e^x - f(x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x}
$$
令 $F'(\xi) = 0$，则有：
$$
\frac{f'(\xi) - f(\xi)}{e^\xi} = 0
$$
即：
$$
f'(\xi) - f(\xi) = 0
$$
构造辅助函数 $F(x) = \frac{f(x)}{e^x}$，其中 $f(x)$ 在区间 $[2,3]$ 上连续，在 $(2,3)$ 内可导，且 $f(x) \neq 0$。
步骤 2：计算辅助函数的值
计算 $F(2)$ 和 $F(3)$ 的值：
$$
F(2) = \frac{f(2)}{e^2} = \frac{1}{e^2}
$$
$$
F(3) = \frac{f(3)}{e^3} = \frac{3/2}{e^3} = \frac{3}{2e^3}
$$
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[2,3]$ 上连续，在 $(2,3)$ 内可导，且 $F(2) = F(3)$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (2,3)$，使得 $F'(\xi) = 0$。
步骤 4：计算 $F'(\xi)$
计算 $F'(x)$：
$$
F'(x) = \frac{f'(x)e^x - f(x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x}
$$
令 $F'(\xi) = 0$，则有：
$$
\frac{f'(\xi) - f(\xi)}{e^\xi} = 0
$$
即：
$$
f'(\xi) - f(\xi) = 0
$$