14.填空题 函数z=x^2+2y^2在点（1，-1）处沿其增加最快的方向的方向导数等于_____.
题目解答
答案
为了找到函数 $z = x^2 + 2y^2$ 在点 $(1, -1)$ 处沿其增加最快的方向的方向导数，我们需要遵循以下步骤： 1. 计算函数的梯度： 函数 $z = x^2 + 2y^2$ 的梯度由下式给出： $\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$ 计算偏导数，我们得到： $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 4y$ 因此，梯度为： $\nabla z = (2x, 4y)$ 2. 在点 $(1, -1)$ 处评估梯度： 将 $x = 1$ 和 $y = -1$ 代入梯度，我们得到： $\nabla z \bigg|_{(1, -1)} = (2 \cdot 1, 4 \cdot -1) = (2, -4)$ 3. 找到梯度的模： 梯度向量 $(2, -4)$ 的模为： $$\nabla z \bigg|_{(1, -1)}$ = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ 4. 确定方向导数： 函数在某点处沿其增加最快的方向的方向导数是该点处梯度的模。因此，函数 $z = x^2 + 2y^2$ 在点 $(1, -1)$ 处沿其增加最快的方向的方向导数为： $2\sqrt{5}$ 因此，答案是： $\boxed{2\sqrt{5}}$
解析
本题考查函数在某点沿梯度方向的方向导数的计算，解题的关键在于理解函数在某点增加最快的方向是该点的梯度方向，而沿此方向的方向导数等于梯度的模。
- 计算函数的梯度：
对于函数$z = x^{2}+2y^{2}$，根据梯度的定义$\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$。
计算偏导数：- 对$x$求偏导数，把$y$看作常数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$。
- 对$y$求偏导数，把$x$看作常数，同理可得$\frac{\partial z}{\partial y} = 4y$。
所以，函数$z$的梯度为$\nabla z = (2x, 4y)$。
- 在点$(1, -1)$处评估梯度：
将$x = 1$和$y = -1$代入梯度$\nabla z = (2x, 4y)$中，可得$\nabla z \big|_{(1, -1)} = (2\times 1, 4\times (-1)) = (2, -4)$。 - 计算梯度的模：
对于向量$\vec{a}=(m,n)$，其模$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{m^2 + n^2}$。
那么梯度向量$(2, -4)$的模为$\vert\nabla z \big|_{(1, -1)}\vert = \sqrt{2^2 + (-4)^2}$。
先计算根号内的值：$2^2 + (-4)^2=4 + 16 = 20$。
所以$\vert\nabla z \big|_{(1, -1)}\vert = \sqrt{20}=2\sqrt{5}$。 - 确定方向导数：
因为函数在某点处沿其增加最快的方向的方向导数是该点处梯度的模，所以函数$z = x^{2}+2y^{2}$在点$(1, -1)$处沿其增加最快的方向的方向导数为$2\sqrt{5}$。