42.正态分布的特征不正确的是A. 正态曲线在横轴上方，且均数所在处最高B. 标准正态分布的均数和标准差分别为1和0C. 正态分布以均数为中心，左右对称D. 标准正态分布在±1处有一个拐点E. 正态分布的面积分布有一定的规律性

本题考查正态分布的特征相关知识点。解题思路是依次分析每个选项所描述的正态分布特征是否正确。

• 选项A：
  • 正态分布的概率密度函数$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu$为均数，$\sigma$为标准差，且$\sigma>0$。
  • 因为指数函数$e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}>0$，$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}>0$，所以$f(x)>0$，即正态曲线在横轴上方。
  • 对$f(x)$求导，$f^\prime(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\times(-\frac{x - \mu}{\sigma^2})$，令$f^\prime(x)=0$，可得$x = \mu$，此时$f(x)$取得最大值，也就是均数所在处最高，所以选项A正确。
• 选项B：
  • 标准正态分布是指均数$\mu = 0$，标准差$\sigma = 1$的正态分布，而不是均数为1，标准差为0，所以选项B错误。
• 选项C：
  • 由于正态分布的概率密度函数$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$，满足$f(\mu + a)=f(\mu - a)$，即关于$x = \mu$对称，所以正态分布以均数为中心，左右对称，选项C正确。
• 选项D：
  • 对标准正态分布$\varPhi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$求二阶导数。
  • 一阶导数$\varPhi^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\times(-x)$。
  • 二阶导数$\varPhi^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}[e^{-\frac{x^2}{2}}\times(-1)+(-x)\times e^{-\frac{x^2}{2}}\times(-x)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2 - 1)$。
  • 令$\varPhi^{\prime\prime}(x)=0$，即$x^2 - 1 = 0$，解得$x=\pm1$，所以标准正态分布在$\pm1$处有一个拐点，选项D正确。
• 选项E：
  • 正态分布的面积分布有一定的规律性，例如在$\mu\pm1\sigma$范围内的面积约为$68.27\%$，在$\mu\pm1.96\sigma$范围内的面积约为$95\%$，在$\mu\pm2.58\sigma$范围内的面积约为$99\%$，所以选项E正确。