10.(10`)计算二重积分 iint dfrac (sin y)(y)dxdy, 其中D是由直线 y=x 与 =sqrt (x) 所围成的闭区域.

步骤 1：确定积分区域
积分区域D是由直线 $y=x$ 与 $y=\sqrt{x}$ 所围成的闭区域。为了确定积分的上下限，我们首先需要找到这两条曲线的交点。解方程 $x = \sqrt{x}$，得到 $x = 0$ 和 $x = 1$。因此，积分区域D在x轴上的范围是0到1。

步骤 2：设置积分
根据积分区域D，我们可以设置二重积分的上下限。由于积分区域D在x轴上的范围是0到1，因此x的积分范围是0到1。对于每个固定的x，y的范围是从 $y = x$ 到 $y = \sqrt{x}$。因此，二重积分可以表示为：
$$\iint_D \frac{\sin y}{y} \, dxdy = \int_0^1 \int_x^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} \, dy \, dx$$

步骤 3：交换积分顺序
为了简化计算，我们可以交换积分顺序。根据积分区域D，y的范围是从0到1，对于每个固定的y，x的范围是从 $x = y^2$ 到 $x = y$。因此，二重积分可以表示为：
$$\iint_D \frac{\sin y}{y} \, dxdy = \int_0^1 \int_{y^2}^y \frac{\sin y}{y} \, dx \, dy$$

步骤 4：计算内层积分
计算内层积分，即对x积分：
$$\int_{y^2}^y \frac{\sin y}{y} \, dx = \frac{\sin y}{y} \int_{y^2}^y dx = \frac{\sin y}{y} (y - y^2) = \sin y - y \sin y$$

步骤 5：计算外层积分
计算外层积分，即对y积分：
$$\int_0^1 (\sin y - y \sin y) \, dy$$
使用分部积分法，设 $u = y$，$dv = \sin y \, dy$，则 $du = dy$，$v = -\cos y$。因此：
$$\int_0^1 (\sin y - y \sin y) \, dy = \int_0^1 \sin y \, dy - \int_0^1 y \sin y \, dy$$
$$= [-\cos y]_0^1 - \left[ -y \cos y \right]_0^1 + \int_0^1 \cos y \, dy$$
$$= -\cos 1 + \cos 0 + [y \cos y]_0^1 - \int_0^1 \cos y \, dy$$
$$= -\cos 1 + 1 + \cos 1 - 0 - [\sin y]_0^1$$
$$= 1 - \sin 1$$