题目
underset(lim)(x→{0)^+}dfrac(1-{e)^dfrac(1{x)}}(x+{e)^dfrac(1{x)}}．
$\underset{lim}{x→{0}^{+}}\dfrac{1-{e}^{\dfrac{1}{x}}}{x+{e}^{\dfrac{1}{x}}}$
．
题目解答
答案
解：原式=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\dfrac{{e}^{-\dfrac{1}{x}}-1}{x{e}^{-\dfrac{1}{x}}+1}$=-1．
解析
步骤 1：转换表达式
将原表达式转换为更易于处理的形式。原式为$\underset{lim}{x→{0}^{+}}\dfrac{1-{e}^{\dfrac{1}{x}}}{x+{e}^{\dfrac{1}{x}}}$，我们可以通过乘以${e}^{-\dfrac{1}{x}}$来简化它，得到$\underset{lim}{x→{0}^{+}}\dfrac{{e}^{-\dfrac{1}{x}}-1}{x{e}^{-\dfrac{1}{x}}+1}$。
步骤 2：分析极限
分析当$x→{0}^{+}$时，${e}^{-\dfrac{1}{x}}$的极限。由于$-\dfrac{1}{x}$趋向于$-\infty$，${e}^{-\dfrac{1}{x}}$趋向于$0$。
步骤 3：计算极限
将${e}^{-\dfrac{1}{x}}$的极限值代入步骤1中的表达式，得到$\dfrac{0-1}{0+1}=-1$。
将原表达式转换为更易于处理的形式。原式为$\underset{lim}{x→{0}^{+}}\dfrac{1-{e}^{\dfrac{1}{x}}}{x+{e}^{\dfrac{1}{x}}}$，我们可以通过乘以${e}^{-\dfrac{1}{x}}$来简化它，得到$\underset{lim}{x→{0}^{+}}\dfrac{{e}^{-\dfrac{1}{x}}-1}{x{e}^{-\dfrac{1}{x}}+1}$。
步骤 2：分析极限
分析当$x→{0}^{+}$时，${e}^{-\dfrac{1}{x}}$的极限。由于$-\dfrac{1}{x}$趋向于$-\infty$，${e}^{-\dfrac{1}{x}}$趋向于$0$。
步骤 3：计算极限
将${e}^{-\dfrac{1}{x}}$的极限值代入步骤1中的表达式，得到$\dfrac{0-1}{0+1}=-1$。