设S=1, (1)/(2), 2, (1)/(3), 3, (1)/(4), 4。*为普通乘法，证明langle S, * rangle是代数系统，半群或群？

本题主要考查代数系统、半群和群的定义及判定，解题的关键在于依据这些定义，依次判断集合$S$在普通乘法运算$*$下是否满足相应条件。

• 代数系统的判定：
  • 代数系统的定义为：设$S$是一个非空集合，$*$是$S$上的一个二元运算，如果对于任意的$a,b\in S$，都有$a * b\in S$，则称$\langle S, * \rangle$是一个代数系统，即运算$*$在集合$S$上满足封闭性。
  • 我们在集合$S = \{1, \frac{1}{2}, 2, \frac{1}{3}, 3, \frac{1}{4}, 4\}$中选取元素进行乘法运算来验证封闭性。
  • 计算$\frac{1}{2} * \frac{1}{3}$，根据普通乘法法则$\frac{1}{2} * \frac{1}{3}=\frac{1\times1}{2\times3}=\frac{1}{6}$，由于$\frac{1}{6}\notin S$。
  • 再计算$2 * 3$，$2 * 3 = 6$，而$6\notin S$。
  • 这两个例子都表明存在$a,b\in S$，使得$a * b\notin S$，所以运算$*$在集合$S$上不满足封闭性，那么$\langle S, * \rangle$不是代数系统。
• 半群和群的判定：
  • 半群的定义是：设$\langle S, * \rangle$是代数系统，如果运算$*$满足结合律，则称$\langle S, * \rangle$是半群。
  • 群的定义为：设$\langle S, * \rangle$是半群，如果存在单位元$e\in S$，使得对于任意$a\in S$，都有$a * e = e * a = a$，并且对于任意$a\in S$，都存在逆元$a^{-1}\in S$，使得$a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$，则称$\langle S, * \rangle$是群。
  • 由于$\langle S, * \rangle$不是代数系统，不满足代数系统的基本条件，而半群和群都是基于代数系统定义的，所以$\langle S, * \rangle$既不是半群也不是群。