五、证明题(本大题共1小题，每小题8分，共8分)25.设x_(1),x_(2),x_(3)是来自任一总体N(mu,sigma^2)容量为3的样本，证明估计量hat(mu)=(1)/(4)x_(1)+(1)/(3)x_(2)+(11)/(20)x_(3)是mu的无偏估计。
题目解答
答案
设 $x_1, x_2, x_3$ 是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，其期望值为 $E(x_i) = \mu$（$i=1,2,3$）。
考虑估计量 $\hat{\mu} = \frac{1}{4}x_1 + \frac{1}{5}x_2 + \frac{11}{20}x_3$，计算其期望值：
$E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{1}{4}x_1 + \frac{1}{5}x_2 + \frac{11}{20}x_3\right) = \frac{1}{4}E(x_1) + \frac{1}{5}E(x_2) + \frac{11}{20}E(x_3) = \frac{1}{4}\mu + \frac{1}{5}\mu + \frac{11}{20}\mu$
将分数通分得：
$E(\hat{\mu}) = \frac{5}{20}\mu + \frac{4}{20}\mu + \frac{11}{20}\mu = \frac{20}{20}\mu = \mu$
因此，$E(\hat{\mu}) = \mu$，估计量 $\hat{\mu}$ 是 $\mu$ 的无偏估计。
$\boxed{\text{估计量 } \hat{\mu} = \frac{1}{4}x_1 + \frac{1}{5}x_2 + \frac{11}{20}x_3 \text{ 是 } \mu \text{ 的无偏估计。}}$
注：题目中估计量应为 $\hat{\mu} = \frac{1}{4}x_1 + \frac{1}{5}x_2 + \frac{11}{20}x_3$，否则不满足无偏性。
解析
本题考查无偏估计的概念及期望的性质。解题的关键在于利用期望的线性性质，计算给定估计量的期望，并判断其是否等于总体均值$\mu$。若等于$\mu$，则该估计量为$\mu$的无偏估计。
- 首先明确样本的期望性质：
已知$x_{1},x_{2},x_{3}$是来自总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，根据期望的定义，对于正态分布总体，样本的期望等于总体的期望，即$E(x_{1}) = E(x_{2}) = E(x_{3})=\mu$。 - 然后计算估计量$\hat{\mu}$的期望：
已知估计量$\hat{\mu}=\frac{1}{4}x_{1}+\frac{1}{5}x_{2}+\frac{11}{20}x_{3}$（题目中$\frac{1}{3}$应为$\frac{1}{5}$，否则不满足无偏性），根据期望的线性性质$E(aX + bY + cZ)=aE(X)+bE(Y)+cE(Z)$（其中$a,b,c$为常数，$X,Y,Z$为随机变量），可得：
$E(\hat{\mu}) = E\left(\frac{1}{4}x_{1}+\frac{1}{5}x_{2}+\frac{11}{20}x_{3}\right)=\frac{1}{4}E(x_{1})+\frac{1}{5}E(x_{2})+\frac{11}{20}E(x_{3})$
将$E(x_{1}) = E(x_{2}) = E(x_{3})=\mu$代入上式，得到：
$E(\hat{\mu})=\frac{1}{4}\mu+\frac{1}{5}\mu+\frac{11}{20}\mu$ - 最后对$E(\hat{\mu})$进行通分计算：
为了将上式中的分数相加，先通分，$4$、$5$、$20$的最小公倍数是$20$，则：
$\frac{1}{4}\mu+\frac{1}{5}\mu+\frac{11}{20}\mu=\frac{1\times5}{4\times5}\mu+\frac{1\times4}{5\times4}\mu+\frac{11}{20}\mu=\frac{5}{20}\mu+\frac{4}{20}\mu+\frac{11}{20}\mu$
根据同分母分数相加的法则$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a + b}{c}$，可得：
$\frac{5}{20}\mu+\frac{4}{20}\mu+\frac{11}{20}\mu=\frac{5 + 4+11}{20}\mu=\frac{20}{20}\mu=\mu$
因为$E(\hat{\mu})=\mu$，所以估计量$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计。