题目
求由下列各曲线所围成的图形的面积:-|||-(1) rho =2acos theta ;-|||-(2) =a(cos )^3t =a(sin )^3t;-|||-(3) rho =2a(2+cos theta ).
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算曲线 $\rho = 2a\cos \theta$ 所围成的图形的面积
曲线 $\rho = 2a\cos \theta$ 是一个圆，其面积可以通过极坐标下的面积公式计算。极坐标下的面积公式为 $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 d\theta$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是积分的上下限。
步骤 2：计算曲线 $x = a\cos^3 t$ 和 $y = a\sin^3 t$ 所围成的图形的面积
曲线 $x = a\cos^3 t$ 和 $y = a\sin^3 t$ 是一个星形线，其面积可以通过参数方程下的面积公式计算。参数方程下的面积公式为 $A = \int_{t_1}^{t_2} y(t) x'(t) dt$，其中 $t_1$ 和 $t_2$ 是积分的上下限。
步骤 3：计算曲线 $\rho = 2a(2 + \cos \theta)$ 所围成的图形的面积
曲线 $\rho = 2a(2 + \cos \theta)$ 是一个心脏线，其面积可以通过极坐标下的面积公式计算。极坐标下的面积公式为 $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 d\theta$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是积分的上下限。
曲线 $\rho = 2a\cos \theta$ 是一个圆，其面积可以通过极坐标下的面积公式计算。极坐标下的面积公式为 $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 d\theta$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是积分的上下限。
步骤 2：计算曲线 $x = a\cos^3 t$ 和 $y = a\sin^3 t$ 所围成的图形的面积
曲线 $x = a\cos^3 t$ 和 $y = a\sin^3 t$ 是一个星形线，其面积可以通过参数方程下的面积公式计算。参数方程下的面积公式为 $A = \int_{t_1}^{t_2} y(t) x'(t) dt$，其中 $t_1$ 和 $t_2$ 是积分的上下限。
步骤 3：计算曲线 $\rho = 2a(2 + \cos \theta)$ 所围成的图形的面积
曲线 $\rho = 2a(2 + \cos \theta)$ 是一个心脏线，其面积可以通过极坐标下的面积公式计算。极坐标下的面积公式为 $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 d\theta$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是积分的上下限。