题目

3【单选题】设a,b均为常数，则下列数学期望和方差的性质中错误的是____.A E(X+Y)=EX+EYB D(b)=0C D(aX)=aD(X)D E(aX)=aE(X)

3【单选题】设a,b均为常数，则下列数学期望和方差的性质中错误的是____. A E(X+Y)=EX+EY B D(b)=0 C D(aX)=aD(X) D E(aX)=aE(X)

题目解答

答案

本题考察数学期望和方差的基本性质。 - A项：$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$，这是期望的线性性质，正确。 - B项：$D(b) = 0$，常数的方差为0，正确。 - C项：$D(aX) = aD(X)$，应为$D(aX) = a^2D(X)$，故错误。 - D项：$E(aX) = aE(X)$，这是期望的线性性质，正确。 综上，错误的性质是C项。 答案：C

解析

本题主要考查数学期望和方差的基本性质，解题思路是依据这些性质逐一分析每个选项。

  • 选项A：
    • 期望的线性性质表明，对于任意两个随机变量$X$和$Y$，都有$E(X + Y)=E(X)+E(Y)$。这是期望运算的一个重要性质，在概率论和数理统计中是经过严格证明的。所以选项A正确。
  • 选项B：
    • 方差的定义为$D(X)=E[(X - E(X))^2]$。对于常数$b$，其数学期望$E(b)=b$。
    • 那么$D(b)=E[(b - E(b))^2]=E[(b - b)^2]=E(0)=0$。所以常数的方差为$0$，选项B正确。
  • 选项C：
    • 根据方差的计算公式$D(aX)=E[(aX - E(aX))^2]$。
    • 由期望的性质$E(aX)=aE(X)$，则$D(aX)=E[(aX - aE(X))^2]$。
    • 对$(aX - aE(X))^2$进行变形可得$(aX - aE(X))^2=a^2(X - E(X))^2$。
    • 所以$D(aX)=E[a^2(X - E(X))^2]$。
    • 根据期望的性质$E(kY)=kE(Y)$（$k$为常数，$Y$为随机变量），这里$k = a^2$，$Y=(X - E(X))^2$，则$D(aX)=a^2E[(X - E(X))^2]$。
    • 又因为$D(X)=E[(X - E(X))^2]$，所以$D(aX)=a^2D(X)$，而不是$D(aX)=aD(X)$。故选项C错误。
  • 选项D：
    • 期望的线性性质规定，对于常数$a$和随机变量$X$，有$E(aX)=aE(X)$。这是期望运算的基本性质之一，在很多概率统计问题中都会用到。所以选项D正确。