题目

在间歇反应器中进行等温 1 级、0 级均相反应，分别求出转化率由 0 至 0.9 所需的时间，与转化率由 0.9 至 0.99 所需时间之比。

题目解答

答案

1. 对于0级反应： \[ t_1 = \frac{0.9 C_{A0}}{k}, \quad t_2 = \frac{0.09 C_{A0}}{k}, \quad \frac{t_1}{t_2} = \frac{0.9}{0.09} = 10 \] 2. 对于1级反应： \[ t_1 = \frac{1}{k} \ln(10), \quad t_2 = \frac{1}{k} \ln(10), \quad \frac{t_1}{t_2} = 1 \] 结论： - 0级反应：$ t_1 : t_2 = 10 : 1 $。 - 1级反应：$ t_1 : t_2 = 1 : 1 $。

解析

本题主要考察间歇反应器中零级反应和一级反应的动力学方程应用，通过动力学方程分别计算不同转化率区间所需的反应时间，进而求出时间之比。

零级反应

零级反应的速率方程为$-r_A = k$，其中$-r_A$是反应物$A$的反应速率，$k$是反应速率常数。
在间歇反应器中，反应速率还可以表示为$-r_A=-\frac{dC_A}{dt}$，结合零级反应速率方程可得：
$-\frac{dC_A}{dt}=k$
移项得到$dC_A=-kdt$。
对其进行积分，积分上下限分别为初始浓度$C_{A0}$和反应$t$时刻的浓度$C_A$，时间从$0$到$t$，即$\int_{C_{A0}}^{C_A}dC_A=-\int_{0}^{t}kdt$。
计算积分：
$C_A - C_{A0}=-kt$
移项可得$t=\frac{C_{A0}-C_A}{k}$。
又因为转化率$x_A=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}$，即$C_A = C_{A0}(1 - x_A)$，代入上式可得$t=\frac{C_{A0}-C_{A0}(1 - x_A)}{k}=\frac{x_A C_{A0}}{k}$。

计算转化率从$0$至$0.9$所需的时间$t_1$：
将$x_{A1}=0.9$代入$t=\frac{x_A C_{A0}}{k}$，可得$t_1=\frac{0.9 C_{A0}}{k}$。
计算转化率从$0.9$至$0.99$所需的时间$t_2$：
先计算转化率为$0.9$时的时间$t_{0.9}=\frac{0.9 C_{A0}}{k}$，转化率为$0.99$时的时间$t_{0.99}=\frac{0.99 C_{A0}}{k}$，那么$t_2=t_{0.99}-t_{0.9}=\frac{0.99 C_{A0}}{k}-\frac{0.9 C_{A0}}{k}=\frac{(0.99 - 0.9) C_{A0}}{k}=\frac{0.09 C_{A0}}{k}$。
计算时间之比$\frac{t_1}{t_2}$：
将$t_1=\frac{0.9 C_{A0}}{k}$和$t_2=\frac{0.09 C_{A0}}{k}$代入$\frac{t_1}{t_2}$，可得$\frac{t_1}{t_2}=\frac{\frac{0.9 C_{A0}}{k}}{\frac{0.09 C_{A0}}{k}}=\frac{0.9}{0.09}=10$。

一级反应

一级反应的速率方程为$-r_A = kC_A$，同样在间歇反应器中$-r_A=-\frac{dC_A}{dt}$，则有$-\frac{dC_A}{dt}=kC_A$。
移项得到$\frac{dC_A}{C_A}=-kdt$。
对其进行积分，积分上下限分别为初始浓度$C_{A0}$和反应$t$时刻的浓度$C_A$，时间从$0$到$t$，即$\int_{C_{A0}}^{C_A}\frac{dC_A}{C_A}=-\int_{0}^{t}kdt$。
计算积分：
$\ln\frac{C_A}{C_{A0}}=-kt$
移项可得$t=\frac{1}{k}\ln\frac{C_{A0}}{C_A}$。
将$C_A = C_{A0}(1 - x_A)$代入上式可得$t=\frac{1}{k}\ln\frac{C_{A0}}{C_{A0}(1 - x_A)}=\frac{1}{k}\ln\frac{1}{1 - x_A}$。

计算转化率从$0$至$0.9$所需的时间$t_1$：
将$x_{A1}=0.9$代入$t=\frac{1}{k}\ln\frac{1}{1 - x_A}$，可得$t_1=\frac{1}{k}\ln\frac{1}{1 - 0.9}=\frac{1}{k}\ln10$。
计算转化率从$0.9$至$0.99$所需的时间$t_2$：
先计算转化率为$0.9$时的时间$t_{0.9}=\frac{1}{k}\ln\frac{1}{1 - 0.9}=\frac{1}{k}\ln10$，转化率为$0.99$时的时间$t_{0.99}=\frac{1}{k}\ln\frac{1}{1 - 0.99}=\frac{1}{k}\ln100$，那么$t_2=t_{0.99}-t_{0.9}=\frac{1}{k}\ln100-\frac{1}{k}\ln10=\frac{1}{k}(\ln100 - \ln10)$。
根据对数运算法则$\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}$，可得$t_2=\frac{1}{k}\ln\frac{100}{10}=\frac{1}{k}\ln10$。
计算时间之比$\frac{t_1}{t_2}$：
将$t_1=\frac{1}{k}\ln10$和$t_2=\frac{1}{k}\ln10$代入$\frac{t_1}{t_2}$，可得$\frac{t_1}{t_2}=\frac{\frac{1}{k}\ln10}{\frac{1}{k}\ln10}=1$。