函数 f(x)=} 1-cos x & xgeq0 x^2 & xA. 可导B. 左导数存在，右导数不存在C. 右导数存在，左导数不存在D. 以上都不对

本题考查分段函数在分段点处的可导性，解题思路是先判断函数在该点的连续性，再分别计算函数在该点的左导数和右导数，若左导数和右导数都存在且相等，则函数在该点可导。

步骤一：判断函数在$x = 0$处的连续性

函数在某点连续的定义为$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$。

• 计算$f(0)$：
  已知当$x\geq0$时，$f(x)=1 - \cos x$，将$x = 0$代入可得$f(0)=1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0$。
• 计算$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)$：
  当$x\to 0^-$时，$x\lt{}0$，此时$f(x)=x^2$，则$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} x^2 = 0$。
• 计算$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$：
  当$x\to 0^+$时，$x\geq0$，此时$f(x)=1 - \cos x$，根据等价无穷小$1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^2(x\to 0)$，可得$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+} (1 - \cos x)=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{2}x^2 = 0$。

由于$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$，所以函数$f(x)$在$x = 0$处连续。

步骤二：计算函数在$x = 0$处的左导数$f'_-(0)$

左导数的定义为$f'_-(0)=\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$。
当$x\to 0^-$时，$f(x)=x^2$，$f(0)=0$，则$f'_-(0)=\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{x^2 - 0}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^-} x = 0$。

步骤三：计算函数在$x = 0$处的右导数$f'_+(0)$

右导数的定义为$f'_+(0)=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$。
当$x\to 0^+$时，$f(x)=1 - \cos x$，$f(0)=0$，则$f'_+(0)=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x - 0}{x - 0}=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{x}$。
根据等价无穷小$1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^2(x\to 0)$，可得$f'_+(0)=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{2}x = 0$。

步骤四：判断函数在$x = 0$处的可导性

因为$f'_-(0)=f'_+(0)=0$，所以函数$f(x)$在$x = 0$处可导。