题目

0.(2024·江苏)求极限lim_(xtoinfty)x^2(arctan x^2-(pi)/(2)).

0.(2024·江苏)求极限$\lim_{x\to\infty}x^{2}\left(\arctan x^{2}-\frac{\pi}{2}\right).$

题目解答

答案

令 $ y = x^2 $，当 $ x \to \infty $ 时，$ y \to \infty $。原极限可化为： \[ \lim_{y \to \infty} y \left( \arctan y - \frac{\pi}{2} \right) \] 利用泰勒展开，当 $ y \to \infty $ 时，有： \[ \arctan y = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{y} + o\left(\frac{1}{y}\right) \] 代入得： \[ \lim_{y \to \infty} y \left( -\frac{1}{y} + o\left(\frac{1}{y}\right) \right) = \lim_{y \to \infty} \left( -1 + o(1) \right) = -1 \] 因此，原极限为 $-1$。答案：$\boxed{-1}$

解析

本题考查极限极限的计算以及泰勒展开的应用。解题思路是先通过变量代换将原极限转化为便于分析的形式，然后利用泰勒展开对函数进行近似，最后代入极限式子进行计算。

进行变量代换：
令 $y = x^2$，当 $x \lim_{x \to \infty}$ 时，因为 $x^2$ 随着 $x$ 趋于无穷而趋于无穷，所以 $\lim_{y \to \infty}$。原极限 $\lim_{x \to \infty} x^{2}\left(arctan x^{2}-\frac{\pi}{2}right)$ 可化为：
$\lim_{y \to \infty} y \left( \arctan y - \frac{\pi}{2} \right)$
利用泰勒展开：
当 $y \to \infty$ 时，根据泰勒展开公式，有：
$\arctan y = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{y} + o\left(\frac{1}{y}\right)$
代入极限式子进行计算
将 $\arctan y = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{y} + o\left(\frac{1y\right)$ 代入 $\lim_{y \to \infty} y \left( \arctan y - \frac{\pi}{2} \right)$ 得：
$\lim_{y \to \infty} y \left( -\frac{1}{y} + o\left(\frac{1}{}\right) \right)$
根据乘法分配律，$y \left( -\frac{1y + o\left(\frac1y\right) \right)= -1 + y\cdot o\left(\frac1y\right)$，当 $y 趋于无穷时，\( y\cdot o\left(\frac1y\right)$ 是一个高阶无穷小，可忽略，所以：
$\lim_{y \to \infty} \left( -1 + o(1) \right) = -1$