三线摆实验中，已知下圆盘质量为m，待测圆环质量为m_(1)，上圆盘半径为r，下圆盘半径为R，上下圆盘中心的高度差为H，实验中将计时器设定为50个周期，下圆盘未放圆环时，计时器最终显示时间为t_(0)，放上圆环后，重新计时，50个周期的时间为t_(1)，待测圆环对转轴的转动惯量为（ ）A. (gRr)/(10000pi^2)H[(m+m_(1))t_(1)^2-mt_(0)^2]B. (gRr)/(2500pi^2)H[(m+m_(1))t_(1)^2-mt_(0)^2]C. (gRr)/(5000pi^2)H[(m+m_(1))t_(1)^2-mt_(0)^2]D. (gRr)/(4pi^2)H[(m+m_(1))t_(1)^2-mt_(0)^2]

本题考查三线摆实验中转动惯量的计算，解题思路是先根据三线摆周期公式分别求出下圆盘未放圆环时的转动惯量以及放上圆环后的总转动惯量，最后通过两者的差值得到待测圆环对转轴的转动惯量。

1. 明确三线摆周期公式：
   三线摆的周期公式为$T = 2\pi \sqrt{\frac{I H}{mgRr}}$，其中$T$为周期，$I$为下圆盘（或下圆盘与圆环组合）对转轴的转动惯量，$H$为上下圆盘中心的高度差，$m$为下圆盘质量，$g$为重力加速度，$R$为下圆盘半径，$r$为上圆盘半径。
2. 计算下圆盘未放圆环时的转动惯量$I_0$：
   已知下圆盘未放圆环时，计时器记录$50$个周期的时间为$t_0$，则此时周期$T_0=\frac{t_0}{50}$。
   将$T_0=\frac{t_0}{50}$代入三线摆周期公式$T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{I_0 H}{mgRr}}$，可得：
   $\frac{t_0}{50}= 2\pi \sqrt{\frac{I_0 H}{mgRr}}$
   两边同时平方可得：
   $(\frac{t_0}{50})^2 = 4\pi^2 \frac{I_0 H}{mgRr}$
   解出$I_0$：
   $\begin{align*}I_0&=\frac{mgRr t_0^2}{4\pi^2 H\times50^2}\\&=\frac{mgRr t_0^2}{10000\pi^2 H}\end{align*}$
3. 计算放上圆环后的总转动惯量$I_0 + J$：
   放上圆环后，计时器记录$50$个周期的时间为$t_1$，则此时周期$T_1=\frac{t_1}{50}$。
   此时下圆盘与圆环的总质量为$m + m_1$，总转动惯量为$I_0 + J$（$J$为待测圆环对转轴的转动惯量）。
   将$T_1=\frac{t_1}{50}$和总质量$m + m_1$代入三线摆周期公式$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{(I_0 + J) H}{(m + m_1)gRr}}$，可得：
   $\frac{t_1}{50}= 2\pi \sqrt{\frac{(I_0 + J) H}{(m + m_1)gRr}}$
   两边同时平方可得：
   $(\frac{t_1}{50})^2 = 4\pi^2 \frac{(I_0 + J) H}{(m + m_1)gRr}$
   解出$I_0 + J$：
   $\begin{align*}I_0 + J&=\frac{(m + m_1)gRr t_1^2}{4\pi^2 H\times50^2}\\&=\frac{(m + m_1)gRr t_1^2}{10000\pi^2 H}\end{align*}$
4. 计算待测圆环的转动惯量$J$：
   用放上圆环后的总转动惯量$I_0 + J$减去下圆盘未放圆环时的转动惯量$I_0$，可得：
   $\begin{align*}J&=(I_0 + J)-I_0\\&=\frac{(m + m_1)gRr t_1^2}{10000\pi^2 H}-\frac{mgRr t_0^2}{10000\pi^2 H}\\&=\frac{gRr}{10000\pi^2 H} \left[ (m + m_1) t_1^2 - m t_0^2 \right]\end{align*}$