[真题6](2018)函数 =arcsin (1-x)+dfrac (1)(2)lg dfrac (1+x)(1-x) 的定义域是 __-|||-A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

本题考查函数定义域的求解，解题的关键在于分别确定反正弦函数和对数函数有意义的条件，然后联立求解不等式组。

步骤一：分析反正弦函数$y = \arcsin(1 - x)$的定义域

对于反正弦函数$y = \arcsin u$，其定义域为$-1\leqslant u\leqslant 1$。
在函数$y=\arcsin (1-x)$中，令$u = 1 - x$，则有$-1\leqslant 1 - x\leqslant 1$。
分别解这两个不等式：

• 解不等式$1 - x\geqslant -1$，移项可得$-x\geqslant -1 - 1$，即$-x\geqslant -2$，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得到$x\leqslant 2$。
• 解不等式$1 - x\leqslant 1$，移项可得$-x\leqslant 1 - 1$，即$-x\leqslant 0$，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得到$x\geqslant 0$。
  所以，$0\leqslant x\leqslant 2$。

步骤二：分析对数函数$y = \frac{1}{2}\lg\frac{1 + x}{1 - x}$的定义域

对于对数函数$y = \lg u$，其定义域为$u\gt{}0$。
在函数$y = \frac{1}{2}\lg\frac{1 + x}{1 - x}$中，令$u = \frac{1 + x}{1 - x}$，则有$\frac{1 + x}{1 - x}\gt{}0$。
根据分式不等式的性质，$\frac{1 + x}{1 - x}\gt{}0$等价于$(1 + x)(1 - x)\gt{}0$，即$(x + 1)(x - 1)\lt{}0$。
令$(x + 1)(x - 1)=0$，则$x = -1$或$x = 1$，这两个点将数轴分为$(-\infty, -1)$，$(-1, 1)$，$(1, +\infty)$三个区间。
分别取区间内的点进行测试：

• 当$x = -2$时，$(-2 + 1)(-2 - 1)=(-1)\times(-3)=3\gt{}0$，不满足$(x + 1)(x - 1)\lt{}0$。
• 当$x = 0$时，$(0 + 1)(0 - 1)=1\times(-1)= -1\lt{}0$，满足$(x + 1)(x - 1)\lt{}0$。
• 当$x = 2$时，$(2 + 1)(2 - 1)=3\times1=3\gt{}0$，不满足$(x + 1)(x - 1)\lt{}0$。
  所以，$-1\lt{}x\lt{}1$。

步骤三：求两个函数定义域的交集

要使函数$y=\arcsin (1-x)+\dfrac {1}{2}\lg \dfrac {1+x}{1-x}$有意义，则$x$既要满足$0\leqslant x\leqslant 2$，又要满足$-1\lt{}x\lt{}1$，取两者的交集，可得$0\leqslant x\lt{}1$，即函数的定义域为$[0, 1)$。