3.(单选题，10分) 二元函数(x,y)≠(0,0)是f(x,y)=(xy)/(x^2)+y^(2),当(x,y)=(0,0)时，f(x,y)=0,则在点(0,0)处（）A. 连续、偏导数存在B. 连续偏导数不存在C. 不连续、偏导数存在D. 吧连续、偏导数不存在

本题考查二元函数在某点的连续性和偏导数的存在性。解题思路是先判断函数在点$(0,0)$处的连续性，再判断函数在该点处偏导数是否存在。

1. 判断函数在点$(0,0)$处的连续性

函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续的定义为$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$。
已知$f(0,0)=0$，我们需要求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$。
考虑沿着不同路径趋近于$(0,0)$，若极限值不同，则极限不存在。
令$y = kx$（$k$为常数），则$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot kx}{x^{2}+(kx)^{2}}$。
对$\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot kx}{x^{2}+(kx)^{2}}$进行化简：
$\begin{align*}\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot kx}{x^{2}+(kx)^{2}}&=\lim\limits_{x\to0}\frac{kx^{2}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}\\&=\lim\limits_{x\to0}\frac{kx^{2}}{(1 + k^{2})x^{2}}\\&=\frac{k}{1 + k^{2}}\end{align*}$
由于极限值$\frac{k}{1 + k^{2}}$与$k$有关，即沿着不同的直线$y = kx$趋近于$(0,0)$时，极限值不同，所以$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$不存在，那么函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处不连续。

2. 判断函数在点$(0,0)$处偏导数是否存在

• 求$f_x(0,0)$：
  根据偏导数的定义$f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}$。
  已知$f(0,0)=0$，$f(\Delta x,0)=\frac{\Delta x\cdot0}{(\Delta x)^{2}+0^{2}} = 0$，则$f_x(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{0 - 0}{\Delta x}=0$。
• 求$f_y(0,0)$：
  同理，根据偏导数的定义$f_y(0,0)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}$。
  已知$f(0,0)=0$，$f(0,\Delta y)=\frac{0\cdot\Delta y}{0^{2}+(\Delta y)^{2}} = 0$，则$f_y(0,0)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{0 - 0}{\Delta y}=0$。

所以函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的偏导数存在。