6-9 [2003数学一] 设总体X的概率密度为-|||-__ f(x)= ) 2(e)^-2(x-theta ), xgt theta 0, xleqslant theta =min-|||-(X1,X2,···,Xn).-|||-(1)求总体X的分布函数F(x);-|||-(2)求统计量θ的分布函数F6(x);-|||-(3)如果用θ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.
题目解答
答案
解析
本题主要考查了总体分布函数、统计量分布函数的求解以及估计量无偏性的判断。解题思路如下：
（1）求总体$X$的分布函数$F(x)$
根据分布函数的定义$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，对给定的概率密度函数$f(x)$进行积分。
- 当$x\leqslant\theta$时，$f(x)=0$，则$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{x}0dt = 0$。
- 当$x > \theta$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{\theta}^{x}2e^{-2(t - \theta)}dt$。
令$u=t - \theta$，则$du = dt$，当$t=\theta$时，$u = 0$；当$t = x$时，$u=x - \theta$。
所以$F(x)=\int_{0}^{x - \theta}2e^{-2u}du$，根据积分公式$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$（$a\neq0$）可得：
$F(x)=2\times\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-2u}\big|_{0}^{x - \theta}=-e^{-2u}\big|_{0}^{x - \theta}=-(e^{-2(x - \theta)}-e^{0}) = 1 - e^{-2(x - \theta)}$。
综上，总体$X$的分布函数为$F(x)=\begin{cases}1 - e^{-2(x - \theta)},&x > \theta\\0,&x\leqslant\theta\end{cases}$。
（2）求统计量$\hat{\theta}$的分布函数$F_{\hat{\theta}}(x)$
首先明确$F_{\hat{\theta}}(x)=P(\hat{\theta}\leqslant x)=P[\min(X_1,X_2,\cdots,X_n)\leqslant x]$。
根据概率的性质$P(A)=1 - P(\overline{A})$，可得$F_{\hat{\theta}}(x)=1 - P[\min(X_1,X_2,\cdots,X_n)>x]$。
因为事件“$\min(X_1,X_2,\cdots,X_n)>x$”与“$X_1 > x,X_2 > x,\cdots,X_n > x$”等价，且样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，所以$P[\min(X_1,X_2,\cdots,X_n)>x]=P(X_1 > x,X_2 > x,\cdots,X_n > x)=P(X_1 > x)P(X_2 > x)\cdots P(X_n > x)$。
又因为$P(X_i > x)=1 - P(X_i\leqslant x)=1 - F(x)$，所以$F_{\hat{\theta}}(x)=1 - [1 - F(x)]^n$。
- 当$x\leqslant\theta$时，$F(x)=0$，则$1 - F(x)=1$，所以$F_{\hat{\theta}}(x)=1 - 1^n = 0$。
- 当$x > \theta$时，$F(x)=1 - e^{-2(x - \theta)}$，则$1 - F(x)=e^{-2(x - \theta)}$，所以$F_{\hat{\theta}}(x)=1 - (e^{-2(x - \theta)})^n=1 - e^{-2n(x - \theta)}$。
综上，统计量$\hat{\theta}$的分布函数为$F_{\hat{\theta}}(x)=\begin{cases}1 - e^{-2n(x - \theta)},&x > \theta\\0,&x\leqslant\theta\end{cases}$。
（3）讨论估计量$\hat{\theta}$是否具有无偏性
先求$\hat{\theta}$的概率密度函数$f_{\hat{\theta}}(x)$，对$F_{\hat{\theta}}(x)$求导。
- 当$x\leqslant\theta$时，$F_{\hat{\theta}}(x)=0$，则$f_{\hat{\theta}}(x)=F_{\hat{\theta}}^\prime(x)=0$。
- 当$x > \theta$时，$F_{\hat{\theta}}(x)=1 - e^{-2n(x - \theta)}$，则$f_{\hat{\theta}}(x)=F_{\hat{\theta}}^\prime(x)=2ne^{-2n(x - \theta)}$。
所以$\hat{\theta}$的概率密度函数为$f_{\hat{\theta}}(x)=\begin{cases}2ne^{-2n(x - \theta)},&x > \theta\\0,&x\leqslant\theta\end{cases}$。
再根据数学期望的定义$E(\hat{\theta})=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{\hat{\theta}}(x)dx$，可得：
$E(\hat{\theta})=\int_{\theta}^{+\infty}x\cdot2ne^{-2n(x - \theta)}dx$。
令$t=x - \theta$，则$x=t+\theta$，$dx = dt$，当$x=\theta$时，$t = 0$；当$x\to+\infty$时，$t\to+\infty$。
所以$E(\hat{\theta})=\int_{0}^{+\infty}(t+\theta)\cdot2ne^{-2nt}dt=\int_{0}^{+\infty}2nt e^{-2nt}dt+\int_{0}^{+\infty}2n\theta e^{-2nt}dt$。 - 对于$\int_{0}^{+\infty}2nt e^{-2nt}dt$，利用分部积分法$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v=uv\big|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，令$u = t$，$\mathrm{d}v=2ne^{-2nt}dt$，则$\mathrm{d}u = dt$，$v=-e^{-2nt}$。
所以$\int_{0}^{+\infty}2nt e^{-2nt}dt=-te^{-2nt}\big|_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}e^{-2nt}dt$。
因为$\lim\limits_{t\to+\infty}-te^{-2nt}=\lim\limits_{t\to+\infty}-\frac{t}{e^{2nt}}$，根据洛必达法则$\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{t}{e^{2nt}}=\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{1}{2ne^{2nt}} = 0$，所以$-te^{-2nt}\big|_{0}^{+\infty}=0$。
而$\int_{0}^{+\infty}e^{-2nt}dt=-\frac{1}{2n}e^{-2nt}\big|_{0}^{+\infty}=\frac{1}{2n}$。 - 对于$\int_{0}^{+\infty}2n\theta e^{-2nt}dt$，$2n\theta\int_{0}^{+\infty}e^{-2nt}dt=2n\theta\times\frac{1}{2n}=\theta$。
所以$E(\hat{\theta})=\frac{1}{2n}+\theta$。
因为$E(\hat{\theta})\neq\theta$，所以估计量$\hat{\theta}$不具有无偏性。