题目
9.(填空题，10.0分)测量某距离时，随机误差X~N(20,40²)(单位：cm)，则在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30cm的概率为_____.(答案保留小数点后两位)第一空
9.(填空题，10.0分)
测量某距离时，随机误差X~N(20,40²)(单位：cm)，则在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30cm的概率为_____.(答案保留小数点后两位)
第一空
题目解答
答案
设随机误差 $X \sim N(20, 40^2)$，求在3次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30cm的概率。
首先，计算一次测量中误差绝对值不超过30cm的概率：
\[
P(|X| < 30) = P(-30 < X < 30)
\]
将 $X$ 转化为标准正态分布 $Z = \frac{X - 20}{40}$，得：
\[
P(-30 < X < 30) = P\left(\frac{-30 - 20}{40} < Z < \frac{30 - 20}{40}\right) = P(-1.25 < Z < 0.25)
\]
查表得：
\[
\Phi(0.25) \approx 0.5987, \quad \Phi(-1.25) \approx 0.1056
\]
因此：
\[
P(-1.25 < Z < 0.25) = \Phi(0.25) - \Phi(-1.25) \approx 0.5987 - 0.1056 = 0.4931
\]
设 $p = P(|X| < 30) \approx 0.4931$，则3次测量中至少有一次误差绝对值不超过30cm的概率为：
\[
P = 1 - (1 - p)^3 \approx 1 - (1 - 0.4931)^3 \approx 1 - 0.5069^3 \approx 1 - 0.1306 \approx 0.87
\]
最终结果为：
\[
\boxed{0.87}
\]
解析
本题考查正态分布以及独立重复试验的概率计算。解题思路如下：
- 首先，根据正态分布的性质，将给定的正态分布$X\sim N(20,40^{2})$转化为标准正态分布$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$\mu = 20$为均值，$\sigma = 40$为标准差），从而计算出一次测量中误差的绝对值不超过$30cm$的概率。
- 然后，利用独立重复试验的概率公式，计算$3$次测量中至少有一次误差的绝对值不超过$30cm$的概率。由于“至少有一次”的对立事件是“一次都没有”，所以可以先求出$3$次测量中误差的绝对值都超过$30cm$的概率，再用$1$减去该概率得到所求概率。
下面进行详细计算：
- 计算一次测量中误差绝对值不超过$30cm$的概率：
已知$X\sim N(20,40^{2})$，要求$P(|X|\lt 30)$，即$P(-30\lt X\lt 30)$。
将$X$转化为标准正态分布$Z=\frac{X - 20}{40}$，则$P(-30\lt X\lt 30)=P\left(\frac{-30 - 20}{40}\lt Z\lt \frac{30 - 20}{40}\right)=P(-1.25\lt Z\lt 0.25)$。
根据标准正态分布的性质$P(-1.25\lt Z\lt 0.25)=\varPhi(0.25)-\varPhi(-1.25)$，查标准正态分布表可得$\varPhi(0.25)\approx0.5987$，$\varPhi(-1.25)\approx0.1056$。
所以$P(-1.25\lt Z\lt 0.25)=0.5987 - 0.1056 = 0.4931$，设$p = P(|X|\lt 30)\approx0.4931$。 - 计算$3$次测量中至少有一次误差绝对值不超过$30cm$的概率：
$3$次测量中误差的绝对值都超过$30cm$的概率为$(1 - p)^{3}$，那么$3$次测量中至少有一次误差绝对值不超过$30cm$的概率为$P = 1-(1 - p)^{3}$。
将$p\approx0.4931$代入可得$P\approx1-(1 - 0.4931)^{3}=1 - 0.5069^{3}$。
计算$0.5069^{3}=0.5069\times0.5069\times0.5069\approx0.1306$，所以$P\approx1 - 0.1306 = 0.87$。