9. ^3-4(x)^2+1=0 在哪一区间上至少有一个实根-|||-A.(1,2) B.(0,1) C. (-2,-1) D. (0,dfrac (1)(2))

本题考查零点存在定理的应用，解题思路是通过计算函数在各个区间端点处的函数值，利用零点存在定理判断函数在哪个区间上至少有一个实根。零点存在定理为：如果函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是连续不断的一条曲线，并且有$f(a)\cdot f(b)\lt{}0$，那么函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$内有零点，即存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)=0$。

设$f(x)=x^{3}-4x^{2}+1$，下面分别计算各选项区间端点的函数值：

• 选项A：区间$(1,2)$
  计算$f(1)$：
  $f(1)=1^{3}-4\times1^{2}+1=1 - 4 + 1=-2$
  计算$f(2)$：
  $f(2)=2^{3}-4\times2^{2}+1=8 - 16 + 1=-7$
  因为$f(1)\cdot f(2)=(-2)\times(-7)=14\gt{}0$，根据零点存在定理可知，函数$f(x)$在区间$(1,2)$上没有实根。
• 选项B：区间$(0,1)$
  计算$f(0)$：
  $f(0)=0^{3}-4\times0^{2}+1=1$
  已知$f(1)= - 2$，则$f(0)\cdot f(1)=1\times(-2)= - 2\lt{}0$，根据零点存在定理可知，函数$f(x)$在区间$(0,1)$上至少有一个实根。
• 选项C：区间$(-2,-1)$
  计算$f(-2)$：
  $f(-2)=(-2)^{3}-4\times(-2)^{2}+1=-8 - 16 + 1=-23$
  计算$f(-1)$：
  $f(-1)=(-1)^{3}-4\times(-1)^{2}+1=-1 - 4 + 1=-4$
  因为$f(-2)\cdot f(-1)=(-23)\times(-4)=92\gt{}0$，根据零点存在定理可知，函数$f(x)$在区间$(-2,-1)$上没有实根。
• 选项D：区间$(0,\frac{1}{2})$
  计算$f(\frac{1}{2})$：
  $f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^{3}-4\times(\frac{1}{2})^{2}+1=\frac{1}{8}-1 + 1=\frac{1}{8}$
  已知$f(0)=1$，则$f(0)\cdot f(\frac{1}{2})=1\times\frac{1}{8}=\frac{1}{8}\gt{}0$，根据零点存在定理可知，函数$f(x)$在区间$(0,\frac{1}{2})$上没有实根。