题目

6. (5.0分) 设有6件正品和4件次品，现从中任取3件，则这3件中恰有两件次品的概率是. 第1空 请输入答案

6. (5.0分) 设有6件正品和4件次品，现从中任取3件，则这3件中恰有两件次品的概率是. 第1空 请输入答案

题目解答

答案

为了求出从6件正品和4件次品中任取3件，其中恰有两件次品的概率，我们可以按照以下步骤进行计算：

  1. 计算总共有多少种取法：
    从10件产品中任取3件，可以使用组合数 $\binom{10}{3}$ 来计算。
    $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

  2. 计算恰有两件次品的取法：
    要求恰有两件次品，那么还有一件必须是正品。我们可以先从4件次品中取2件，再从6件正品中取1件。使用组合数 $\binom{4}{2}$ 和 $\binom{6}{1}$ 来计算。
    $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$
    $\binom{6}{1} = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6}{1} = 6$
    所以，恰有两件次品的取法有 $\binom{4}{2} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36$ 种。

  3. 计算概率：
    概率等于恰有两件次品的取法数除以总取法数。
    $\text{概率} = \frac{\text{恰有两件次品的取法数}}{\text{总取法数}} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$

因此，这3件中恰有两件次品的概率是 $\boxed{\frac{3}{10}}$。

解析

本题考查古典概型概率的计算。解题思路是先求出从$10$件产品（$6$件正品和$4$件次品）中任取$3$件的所有可能取法，再求出取出的$3$件中恰有两件次品的取法，最后根据古典概型概率公式计算概率。

  1. 计算从$10$件产品中任取$3$件的总取法数：
    从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$\binom{n}{m}$，其计算公式为$\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
    从$10$件产品中任取$3$件，即$n = 10$，$m = 3$，则总取法数为$\binom{10}{3}$，根据组合数公式可得：
    $\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!(10 - 3)!}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120$（种）
  2. 计算取出的$3$件中恰有两件次品的取法数：
    要得到恰有两件次品的情况，可分两步完成。
    • 第一步，从$4$件次品中取$2$件，此时$n = 4$，$m = 2$，取法数为$\binom{4}{2}$，根据组合数公式可得：
      $\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}=\frac{4\times3}{2\times1}=6$（种）
    • 第二步，从$6$件正品中取$1$件，此时$n = 6$，$m = 1$，取法数为$\binom{6}{1}$，根据组合数公式可得：
      $\binom{6}{1}=\frac{6!}{1!(6 - 1)!}=\frac{6}{1}=6$（种）
      根据分步乘法计数原理，完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
      所以恰有两件次品的取法数为$\binom{4}{2}\times\binom{6}{1}=6\times6 = 36$（种）
  3. 计算概率：
    古典概型概率公式为$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{试验的基本事件总数}$。
    设“取出的$3$件中恰有两件次品”为事件$A$，则$P(A)=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$。