设 f(x,y) = } (x^2 + y^2) arctan (1)/(x^2 + y^2), & (x,y) neq (0,0) 0, & (x,y) = (0,0) 则 f_y(0,0) = ( )A. 1B. 0C. 不存在D. pi/2

本题考查二元函数偏导数的定义。解题思路是根据偏导数的定义来计算函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处对$y$的偏导数$f_y(0,0)$。

根据二元函数偏导数的定义，函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$y$的偏导数为$f_y(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0)}{\Delta y}$。

对于本题，$x_0 = 0$，$y_0 = 0$，则$f_y(0,0)=\lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,0 + \Delta y) - f(0,0)}{\Delta y}$。

• 步骤一：计算$f(0,0 + \Delta y)$和$f(0,0)$的值
  已知$f(x,y) = \begin{cases} (x^2 + y^2) \arctan \frac{1}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$，将$x = 0$，$y = \Delta y$代入$f(x,y)$可得：
  $f(0,\Delta y)=(0^2 + (\Delta y)^2) \arctan \frac{1}{0^2 + (\Delta y)^2}=(\Delta y)^2 \arctan \frac{1}{(\Delta y)^2}$
  又因为$f(0,0) = 0$。

• 步骤二：将$f(0,\Delta y)$和$f(0,0)$的值代入偏导数定义式
  $f_y(0,0)=\lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{f(0,0 + \Delta y) - f(0,0)}{\Delta y}=\lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{(\Delta y)^2 \arctan \frac{1}{(\Delta y)^2} - 0}{\Delta y}$
  $=\lim\limits_{\Delta y \to 0} \Delta y \arctan \frac{1}{(\Delta y)^2}$

• 步骤三：计算极限$\lim\limits_{\Delta y \to 0} \Delta y \arctan \frac{1}{(\Delta y)^2}$
  因为$\arctan$函数的值域是$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，所以$\vert\arctan \frac{1}{(\Delta y)^2}\vert\lt\frac{\pi}{2}$，即$\arctan \frac{1}{(\Delta y)^2}$是有界函数。
  而$\lim\limits_{\Delta y \to 0} \Delta y = 0$，根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得：
  $\lim\limits_{\Delta y \to 0} \Delta y \arctan \frac{1}{(\Delta y)^2}=0$

所以$f_y(0,0) = 0$。