10.判断题设X~N(0,1)（标准正态分布），Φ(x)为其分布函数，则Φ(-x)=1-Φ(x)，且P(|X|≤a)=2Φ(a)-1(a>0)。A 对B 错A. 对B. 错

本题考查标准正态分布的性质以及分布函数的相关知识。解题思路是先根据标准正态分布的概率密度函数的对称性证明$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$，再利用该结论推导$P(|X|\leq a)=2\varPhi(a) - 1(a\gt0)$。

证明$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$

已知$X\sim N(0,1)$，其概率密度函数为$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}$，分布函数$\varPhi(x)=\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)dt=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$。
因为$\varphi(x)$是偶函数，即$\varphi(-x)=\varphi(x)$，所以有：
$\varPhi(-x)=\int_{-\infty}^{-x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$
令$u=-t$，则$dt=-du$。当$t = -\infty$时，$u = +\infty$；当$t = -x$时，$u = x$。
那么$\varPhi(-x)=\int_{+\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}(-du)=\int_{x}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du$
又因为$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du = 1$，即$\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du+\int_{x}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du = 1$，也就是$\varPhi(x)+\varPhi(-x)=1$，移项可得$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$。

推导$P(|X|\leq a)=2\varPhi(a) - 1(a\gt0)$

根据绝对值不等式的性质$|X|\leq a$等价于$-a\leq X\leq a$，所以$P(|X|\leq a)=P(-a\leq X\leq a)$。
由分布函数的性质可知$P(-a\leq X\leq a)=\varPhi(a)-\varPhi(-a)$，将$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$代入可得：
$P(-a\leq X\leq a)=\varPhi(a)-(1 - \varPhi(a))=2\varPhi(a) - 1$，其中$a\gt0$。

综上，“设$X\sim N(0,1)$（标准正态分布），$\varPhi(x)$为其分布函数，则$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$，且$P(|X|\leq a)=2\varPhi(a) - 1(a\gt0)$”这一说法是正确的。