题目

3.(1)求二阶偏微分方程 dfrac ({partial )^2z}(partial xpartial y)=(x)^2y 的通解,(2)求该方程满足定解条件-|||-(x,0)=(x)^2, (1,y)=cos y 的特解.

题目解答

本题主要考查二阶偏微分方程的求解，包括通解和特解的计算。解题思路是先通过对给定的二阶偏微分方程进行积分求出通解，再利用定解条件确定通解中的未知函数，从而得到特解。

（1）求二阶偏微分方程$\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=x^{2}y$的通解

首先，对$\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=x^{2}y$关于$y$积分：
根据积分公式$\int x^{n}y^{m}dy=\frac{1}{m + 1}x^{n}y^{m+1}+C$（$m\neq - 1$），可得
$\frac{\partial z}{\partial x}=\int x^{2}y\mathrm{d}y=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+\varphi(x)$
这里$\varphi(x)$是关于$x$的任意函数，因为在对$y$积分时，$x$可看作常数，积分常数会是关于$x$的函数。
然后，对$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+\varphi(x)$关于$x$积分：
根据积分公式$\int x^{n}\mathrm{d}x=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C$（$n\neq - 1$），可得
$z=\int(\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+\varphi(x))\mathrm{d}x=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}+\int\varphi(x)\mathrm{d}x+\psi(y)$
令$\int\varphi(x)\mathrm{d}x = \Phi(x)$，则通解为$z=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}+\Phi(x)+\psi(y)$，其中$\Phi(x)$和$\psi(y)$分别是关于$x$和$y$的任意函数。

（2）求该方程满足定解条件$z(x,0)=x^{2}$，$z(1,y)=\cos y$的特解

利用定解条件$z(x,0)=x^{2}$：
将$y = 0$代入通解$z=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}+\Phi(x)+\psi(y)$中，得到$z(x,0)=\Phi(x)+\psi(0)$。
因为$z(x,0)=x^{2}$，所以$\Phi(x)+\psi(0)=x^{2}$，即$\Phi(x)=x^{2}-\psi(0)$。
再利用定解条件$z(1,y)=\cos y$：
将$x = 1$代入通解$z=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}+\Phi(x)+\psi(y)$中，得到$z(1,y)=\frac{1}{6}y^{2}+\Phi(1)+\psi(y)$。
因为$z(1,y)=\cos y$，所以$\frac{1}{6}y^{2}+\Phi(1)+\psi(y)=\cos y$，即$\psi(y)=\cos y-\frac{1}{6}y^{2}-\Phi(1)$。
由$\Phi(x)=x^{2}-\psi(0)$，令$x = 1$，可得$\Phi(1)=1-\psi(0)$。
将$\Phi(1)=1-\psi(0)$代入$\psi(y)=\cos y-\frac{1}{6}y^{2}-\Phi(1)$中，得到$\psi(y)=\cos y-\frac{1}{6}y^{2}-(1 - \psi(0))$。
又因为$\Phi(x)=x^{2}-\psi(0)$，所以通解$z=\frac{1}{6}x^{3}y^{2}+x^{2}-\psi(0)+\cos y-\frac{1}{6}y^{2}-(1 - \psi(0))$。
化简可得$z=x^{2}+\cos y+\frac{1}{6}x^{3}y^{2}-\frac{1}{6}y^{2}-1$。