题目
19.已知y=x e^x为微分方程y^primeprime+py^prime+qy=-e^x的一个特解，求该微分方程满足初始条件y|_(x=0)=1,y^prime|_(x=0)=2的特解.
19.已知$y=x e^{x}$为微分方程$y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=-e^{x}$的一个特解，求该微分方程满足初始条件
$y|_{x=0}=1,y^{\prime}|_{x=0}=2$的特解.
题目解答
答案
已知 $ y = x e^x $ 是微分方程 $ y'' + p y' + q y = -e^x $ 的特解，代入得：
$y' = (1 + x)e^x, \quad y'' = (2 + x)e^x$
代入方程并整理得：
$e^x[(2 + x) + p(1 + x) + qx] = -e^x \implies (p + q + 1)x + (p + 2) = -1$
解得 $ p = -3 $，$ q = 2 $，故方程为：
$y'' - 3y' + 2y = -e^x$
齐次方程通解为：
$y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$
特解设为 $ y_p = A x e^x $，代入得 $ A = 1 $，即 $ y_p = x e^x $。
通解为：
$y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + x e^x$
由初始条件 $ y(0) = 1 $，$ y'(0) = 2 $ 解得 $ C_1 = 1 $，$ C_2 = 0 $。
答案： $\boxed{(x + 1) e^x}$