题目

2.填空题四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2,0,1，它们的余子式的值依次为5,3,-7,4,则D=____.

题目解答

答案

按第3列展开行列式 $ D $，元素与对应代数余子式的乘积和为： \[ D = a_{13}C_{13} + a_{23}C_{23} + a_{33}C_{33} + a_{43}C_{43} \] 其中，代数余子式 $ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} $，余子式 $ M_{ij} $ 已知。计算得： \[ C_{13} = 5, \quad C_{23} = -3, \quad C_{33} = -7, \quad C_{43} = -4 \] 代入得： \[ D = (-1) \cdot 5 + 2 \cdot (-3) + 0 \cdot (-7) + 1 \cdot (-4) = -5 - 6 - 4 = -15 \] 或直接使用余子式： \[ D = (-1) \cdot M_{13} - 2 \cdot M_{23} - 1 \cdot M_{43} = -5 - 6 - 4 = -15 \] 答案：$\boxed{-15}$

解析

考查要点：本题主要考查行列式按列展开的计算方法，特别是代数余子式的应用。

解题核心思路：利用行列式按某一列展开的公式，将第3列的元素与其对应的代数余子式相乘后求和。关键在于正确计算每个元素的代数余子式，注意符号的确定。

破题关键点：

代数余子式的符号规则：代数余子式 $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$，需根据元素的位置 $(i,j)$ 确定符号。
元素与代数余子式对应相乘求和：将第3列的每个元素与对应的代数余子式相乘，再将结果相加。

根据行列式按列展开的公式，四阶行列式 $D$ 按第3列展开为：
$D = a_{13}C_{13} + a_{23}C_{23} + a_{33}C_{33} + a_{43}C_{43}$

步骤1：计算代数余子式

第1行第3列元素 $a_{13} = -1$，代数余子式 $C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot M_{13} = 1 \cdot 5 = 5$
第2行第3列元素 $a_{23} = 2$，代数余子式 $C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot M_{23} = -1 \cdot 3 = -3$
第3行第3列元素 $a_{33} = 0$，代数余子式 $C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot M_{33} = 1 \cdot (-7) = -7$
第4行第3列元素 $a_{43} = 1$，代数余子式 $C_{43} = (-1)^{4+3} \cdot M_{43} = -1 \cdot 4 = -4$

步骤2：代入展开式计算
$\begin{aligned}D &= (-1) \cdot 5 + 2 \cdot (-3) + 0 \cdot (-7) + 1 \cdot (-4) \\&= -5 - 6 + 0 - 4 \\&= -15\end{aligned}$