题目

14.主观题（10分）计算int xsin xdx。

14.主观题（10分） 计算$\int x\sin xdx$。

题目解答

答案

令 $ u = x $，$ dv = \sin x \, dx $，则 $ du = dx $，$ v = -\cos x $。 应用分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得 \[ \int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x\cos x + \int \cos x \, dx. \] 又因为 $\int \cos x \, dx = \sin x + C$，所以 \[ \int x \sin x \, dx = -x\cos x + \sin x + C. \] 最终结果为 \[ \boxed{-x\cos x + \sin x + C}. \]

解析

本题考查不定积分的分部积分法。解题思路是利用分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$来计算$\int x\sin xdx$。具体步骤如下：

  1. 首先，根据分部积分法的原则，选择合适的$u$和$dv$。一般来说，我们希望通过选择$u$和$dv$，使得$\int v \, du$比$\int u \, dv$更容易计算。对于$\int x\sin xdx$，我们令$u = x$，$dv = \sin x \, dx$。
  2. 然后，对$u$求导得到$du$，对$dv$积分得到$v$。
    • 对$u = x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，这里$n = 1$，可得$du = dx$。
    • 对$dv = \sin x \, dx$积分，根据积分公式$\int\sin xdx=-\cos x + C$，可得$v = -\cos x$。
  3. 接着，将$u$、$v$、$du$代入分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$中：
    • $\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx$
    • 去括号可得$\int x \sin x \, dx = -x\cos x + \int \cos x \, dx$。
  4. 最后，计算$\int \cos x \, dx$：
    • 根据积分公式$\int\cos xdx=\sin x + C$，将其代入上式可得$\int x \sin x \, dx = -x\cos x + \sin x + C$。