将长度为10厘米的巧克力棒随机截成两段，则这两段长度的相关系数为A. -0.5B. -1C. 1D. 0.5

要解决这个问题，我们需要理解相关系数的定义与计算逻辑，结合两段长度的线性关系分析。

步骤1：设定变量，明确线性关系

设截断后第一段长度为 $X$，第二段长度为 $Y$。由于巧克力棒总长度为10厘米，因此两段长度满足线性关系：
$Y = 10 - X$

步骤2：回忆相关系数公式

两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho(X,Y)$ 定义为：
$\rho(X,Y) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$
其中：

• $\text{Cov}(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差；
• $\sigma_X$、$\sigma_Y$ 分别是 $X$、$Y$ 的标准差（即方差的平方根，$\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}$，$\sigma_Y = \sqrt{\text{Var}(Y)}$）。

步骤3：计算协方差 $\text{Cov}(X,Y)$

根据协方差的性质：$\text{Cov}(A, B+C) = \text{Cov}(A,B) + \text{Cov}(A,C)$，且常数与随机变量的协方差为0（$\text{Cov}(A, c) = 0$，$c$ 为常数）。

对 $Y = 10 - X$，计算 $\text{Cov}(X,Y)$：
$\text{Cov}(X,Y) = \text{Cov}(X, 10 - X) = \text{Cov}(X, 10) + \text{Cov}(X, -X)$

• $\text{Cov}(X, 10) = 0$（常数与随机变量协方差为0）；
• $\text{Cov}(X, -X) = -\text{Cov}(X,X) = -\text{Var}(X)$（协方差的自反性：$\text{Cov}(X,X) = \text{Var}(X)$）。

因此：
$\text{Cov}(X,Y) = 0 - \text{Var}(X) = -\text{Var}(X)$

步骤4：计算标准差 $\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$

根据方差的性质：$\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$（$a,b$ 为常数）。

对 $Y = 10 - X$，计算 $\text{Var}(Y)$：
$\text{Var}(Y) = \text{Var}(10 - X) = (-1)^2\text{Var}(X) = \text{Var}(X)$

因此，$Y$ 的标准差：
$\sigma_Y = \sqrt{\text{Var}(Y)} = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sigma_X$

步骤5：代入相关系数公式

将 $\text{Cov}(X,Y) = -\text{Var}(X)$、$\sigma_Y = \sigma_X$ 代入相关系数公式：
$\rho(X,Y) = \frac{-\text{Var}(X)}{\sigma_X \cdot \sigma_X} = \frac{-\text{Var}(X)}{\text{Var}(X)} = -1$

结论

两段长度的相关系数为 $\boldsymbol{-1}$，对应选项 B。