题目

设二维随机变量(X,Y)的分布律为-|||-Y 0 1 2-|||-0 dfrac (1)(4) 0 dfrac (1)(4)-|||-1 0 dfrac (1)(3) 0-|||-2 dfrac (1)(12) 0 dfrac (1)(12)-|||-(1)求 X=2Y ;-|||-(2) cot (x-1,x)

题目解答

答案

解析

本题主要考查二维随机变量的概率计算以及协方差的计算。解题思路如下：

  1. 首先根据二维随机变量$(X,Y)$的联合分布律求出$X$和$Y$的边缘分布律。
  2. 对于$P\{ X = 2Y\}$，需要找出满足$X = 2Y$的$(X,Y)$取值组合，然后将对应组合的概率相加。
  3. 对于$Cov(X - Y,Y)$，根据协方差的性质$Cov(X - Y,Y)=Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)$，再分别计算$Cov(X,Y)$和$Cov(Y,Y)$。计算协方差时，需要先求出$E(X)$、$E(Y)$、$E(X^2)$、$E(Y^2)$，然后利用公式$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$和$Cov(Y,Y)=D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$进行计算。

1. 求$X$和$Y$的边缘分布律

已知二维随机变量$(X,Y)$的分布律为：

$X$ $\diagdown$ $Y$ $0$ $1$ $2$ $P\{X = x_i\}$
$0$ $\frac{1}{4}$ $0$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
$1$ $0$ $\frac{1}{3}$ $0$ $0+\frac{1}{3}+0=\frac{1}{3}$
$2$ $\frac{1}{12}$ $0$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{12}+0+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$
$P\{Y = y_j\}$ $\frac{1}{4}+0+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$ $0+\frac{1}{3}+0=\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}+0+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$

2. 计算$P\{ X = 2Y\}$

满足$X = 2Y$的$(X,Y)$取值组合为$(0,0)$和$(2,1)$。
根据概率的可加性，可得：
$P\{ X = 2Y\}=P\{X = 0,Y = 0\}+P\{X = 2,Y = 1\}$
已知$P\{X = 0,Y = 0\}=\frac{1}{4}$，$P\{X = 2,Y = 1\}=0$，所以$P\{ X = 2Y\}=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}$。

3. 计算$Cov(X - Y,Y)$

根据协方差的性质$Cov(X - Y,Y)=Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)$。

  • 计算$E(X)$、$E(Y)$、$E(X^2)$、$E(Y^2)$：
    • $E(X)=\sum_{i = 0}^{2}x_iP\{X = x_i\}=0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{3}+2\times\frac{1}{6}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
    • $E(Y)=\sum_{j = 0}^{2}y_jP\{Y = y_j\}=0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}+2\times\frac{1}{3}=1$
    • $E(X^2)=\sum_{i = 0}^{2}x_i^2P\{X = x_i\}=0^2\times\frac{1}{2}+1^2\times\frac{1}{3}+2^2\times\frac{1}{6}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$
    • $E(Y^2)=\sum_{j = 0}^{2}y_j^2P\{Y = y_j\}=0^2\times\frac{1}{3}+1^2\times\frac{1}{3}+2^2\times\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$
  • 计算$E(XY)$：
    $E(XY)=\sum_{i = 0}^{2}\sum_{j = 0}^{2}x_iy_jP\{X = x_i,Y = y_j\}$
    $=0\times0\times\frac{1}{4}+0\times1\times0+0\times2\times\frac{1}{4}+1\times0\times0+1\times1\times\frac{1}{3}+1\times2\times0+2\times0\times\frac{1}{12}+2\times1\times0+2\times2\times\frac{1}{12}$
    $=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
  • 计算$Cov(X,Y)$：
    根据公式$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，可得：
    $Cov(X,Y)=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\times1=0$
  • 计算$Cov(Y,Y)$：
    根据公式$Cov(Y,Y)=D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$，可得：
    $Cov(Y,Y)=\frac{5}{3}-1^2=\frac{2}{3}$
  • 计算$Cov(X - Y,Y)$：
    $Cov(X - Y,Y)=Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)=0-\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}$