设D是曲线 =(x)^2 以及该曲线在(1,1)处的切线和y轴所围成的平面区域。求:(1)-|||-平面区域D的面积S;(2)D绕y轴旋转而成的旋转体的体积V。

本题主要考查定积分的几何应用，包括求平面区域的面积以及旋转体的体积。解题思路如下：

（1）求平面区域$D$的面积$S$

• 步骤一：求曲线$y = x^2$在点$(1,1)$处的切线方程
  对$y = x^2$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$y^\prime = 2x$。
  将$x = 1$代入到导数$y^\prime$中，得到切线的斜率$k = y^\prime|_{x = 1}= 2\times1 = 2$。
  由点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$（其中$(x_0,y_0)$为直线上一点，$k$为直线斜率），可得切线方程为$y - 1 = 2(x - 1)$，整理得$y = 2x - 1$。
• 步骤二：确定积分区间和被积函数
  要求平面区域$D$的面积，需要找到曲线$y = x^2$与切线$y = 2x - 1$的交点以及它们与$y$轴的关系。
  联立$\begin{cases}y = x^2\\y = 2x - 1\end{cases}$，将$y = 2x - 1$代入$y = x^2$中，得到$x^2 = 2x - 1$，即$x^2 - 2x + 1 = 0$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可化为$(x - 1)^2 = 0$，解得$x = 1$。
  在区间$[0,1]$上，切线$y = 2x - 1$在曲线$y = x^2$的上方，所以被积函数为$(2x - 1 - x^2)$，积分区间为$[0,1]$。
• 步骤三：计算定积分求面积$S$
  根据定积分的几何意义，平面区域$D$的面积$S=\int_{0}^{1}[(2x - 1) - x^2]dx$。
  根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx$，可得：
  $\begin{align*} S&=\int_{0}^{1}(2x - 1 - x^2)dx\\ &=\int_{0}^{1}2xdx - \int_{0}^{1}1dx - \int_{0}^{1}x^2dx\\ &=2\times\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{1}-x\big|_{0}^{1}-\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{1}\\ &=x^2\big|_{0}^{1}-x\big|_{0}^{1}-\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{1}\\ &=(1^2 - 0^2) - (1 - 0) - \frac{1}{3}(1^3 - 0^3)\\ &=1 - 1 - \frac{1}{3}\\ &=-\frac{1}{3} \end{align*}$
  由于面积不能为负，所以$S = \frac{1}{3}$。

（2）求$D$绕$y$轴旋转而成的旋转体的体积$V$

• 步骤一：确定积分区间和被积函数
  使用圆盘法求旋转体体积，需要将$x$表示为$y$的函数。
  由$y = x^2$可得$x = \sqrt{y}$（因为$x\geq0$），由$y = 2x - 1$可得$x = \frac{y + 1}{2}$。
  切线$y = 2x - 1$与$y$轴的交点为$(0,-1)$，曲线$y = x^2$与$y$轴的交点为$(0,0)$，所以积分区间为$[-1,1]$。
  在区间$[-1,1]$上，外半径$R = \frac{y + 1}{2}$，内半径$r = \sqrt{y}$，根据旋转体体积公式$V = \pi\int_{a}^{b}(R^2 - r^2)dy$，可得被积函数为$\pi[(\frac{y + 1}{2})^2 - y]$。
• 步骤二：计算定积分求体积$V$
  $\begin{align*} V&=\pi\int_{-1}^{1}[(\frac{y + 1}{2})^2 - y]dy\\ &=\pi\int_{-1}^{1}(\frac{y^2 + 2y + 1}{4} - y)dy\\ &=\pi\int_{-1}^{1}(\frac{y^2 + 2y + 1 - 4y}{4})dy\\ &=\pi\int_{-1}^{1}(\frac{y^2 - 2y + 1}{4})dy\\ &=\frac{\pi}{4}\int_{-1}^{1}(y^2 - 2y + 1)dy\\ &=\frac{\pi}{4}(\frac{1}{3}y^3 - y^2 + y)\big|_{-1}^{1}\\ &=\frac{\pi}{4}[(\frac{1}{3}\times1^3 - 1^2 + 1) - (\frac{1}{3}\times(-1)^3 - (-1)^2 + (-1))]\\ &=\frac{\pi}{4}[(\frac{1}{3} - 1 + 1) - (-\frac{1}{3} - 1 - 1)]\\ &=\frac{\pi}{4}(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + 2)\\ &=\frac{\pi}{4}(\frac{2}{3} + 2)\\ &=\frac{\pi}{4}\times\frac{8}{3}\\ &=\frac{2\pi}{3} \end{align*}$