5.某学校数学考试时有四道选择题,每道选择题附有4个答案,其中只有一个是正确答-|||-案,现一个考生随意选择每道题的答案,则他至少答对3道题的概率为 () .-|||-A. dfrac (81)(256); B. dfrac (4)(256); C. dfrac (13)(256); D. dfrac (12)(256);

本题考查独立事件概率的计算以及组合数的应用。解题的关键思路是明确“至少答对$3$道题”包含“答对$3$道题答错$1$道题”和“$4$道题都答对”这两种情况，然后分别计算这两种情况的概率，最后根据互斥事件概率加法公式将它们相加，即可得到至少答对$3$道题的概率。

步骤一：计算答对$3$道题答错$1$道题的概率

• 从$4$道题中选$3$道题答对的组合数为${C}_{4}^{3}$，根据组合数公式${C}_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，可得${C}_{4}^{3}=\frac{4!}{3!(4 - 3)!}=\frac{4\times3!}{3!\times1!}= 4$。
• 每道题答对的概率为$\frac{1}{4}$，答错的概率为$1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
• 因为每道题的选择是相互独立事件，所以答对$3$道题答错$1$道题的概率为${C}_{4}^{3}\times(\frac{1}{4})^3\times\frac{3}{4}=4\times\frac{1}{64}\times\frac{3}{4}=\frac{12}{256}$。

步骤二：计算$4$道题都答对的概率

由于每道题答对的概率为$\frac{1}{4}$，且各题相互独立，根据独立事件概率的乘法公式，$4$道题都答对的概率为$(\frac{1}{4})^4=\frac{1}{256}$。

步骤三：计算至少答对$3$道题的概率

“答对$3$道题答错$1$道题”与“$4$道题都答对”是互斥事件，根据互斥事件概率加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$，可得至少答对$3$道题的概率为$\frac{12}{256}+\frac{1}{256}=\frac{13}{256}$。