当 x arrow 0 时, alpha(x), beta(x) 是非零无穷小量, 现有以下四个命题:(1) 若 alpha(x) sim beta(x), 则 alpha^2(x) sim beta^2(x);(2) 若 alpha^2(x) sim beta^2(x), 则 alpha(x) sim beta(x);(3) 若 alpha(x) sim beta(x), 则 alpha(x) - beta(x) = o(alpha(x));(4) 若 alpha(x) - beta(x) = o(alpha(x)), 则 alpha(x) sim beta(x).其中所有正确的命题是A. (1)(2)B. (1)(4)C. (1)(3)(4)D. (2)(3)(4)

考查要点：本题主要考查无穷小量的等价性（记作$\sim$）及小o符号（$o(\cdot)$）的性质，重点在于理解等价无穷小的运算规律及其逆命题是否成立。

解题核心思路：

1. 等价无穷小的平方关系：若$\alpha(x) \sim \beta(x)$，则$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$（命题1正确）。
2. 平方等价的逆命题：$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$不能推出$\alpha(x) \sim \beta(x)$（命题2错误，反例：$\alpha(x)=x$，$\beta(x)=-x$）。
3. 等价无穷小的差性质：若$\alpha(x) \sim \beta(x)$，则$\alpha(x)-\beta(x)$是$\alpha(x)$的高阶无穷小（命题3正确）。
4. 差为高阶无穷小的逆命题：若$\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$，则$\alpha(x) \sim \beta(x)$（命题4正确）。

破题关键点：

• 等价无穷小的传递性与运算：注意等价无穷小在乘法、除法下的封闭性，但需谨慎处理加减法。
• 反例的构造：对逆命题的否定需通过具体反例验证（如命题2）。
• 小o符号的定义：$o(\alpha(x))$表示比$\alpha(x)$更高阶的无穷小，需结合极限运算分析。

命题（1）分析

若$\alpha(x) \sim \beta(x)$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$。两边平方得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2 = 1^2 = 1,$
因此$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$，命题（1）正确。

命题（2）分析

构造反例：令$\alpha(x) = x$，$\beta(x) = -x$，则$\alpha^2(x) = x^2 \sim \beta^2(x) = x^2$，但$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = -1 \neq 1$，故$\alpha(x) \not\sim \beta(x)$，命题（2）错误。

命题（3）分析

若$\alpha(x) \sim \beta(x)$，则$\alpha(x) - \beta(x) = \alpha(x) - \alpha(x) \cdot \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = \alpha(x) \left( 1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \right)$。由于$\frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \to 1$，故$1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} \to 0$，即$\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$，命题（3）正确。

命题（4）分析

若$\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$，则$\beta(x) = \alpha(x) + o(\alpha(x))$。两边除以$\alpha(x)$得：
$\frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1 + \frac{o(\alpha(x))}{\alpha(x)} \to 1 + 0 = 1,$
因此$\alpha(x) \sim \beta(x)$，命题（4）正确。