单选题（共25题，50.0分）题到说明：判断下列集合是否为凸集？1. 2.0分）集合C=(x,y)in R^2|x+yge 1,xge 0,yge 0是否为凸集？A. 否B. 是

本题考查凸集的定义及判断方法。解题思路是根据凸集的定义，对于集合$C$中的任意两个点$\mathbf{x}_1$和$\mathbf{x}_2$，以及任意的$\lambda\in[0,1]$，判断$\lambda\mathbf{x}_1+(1 - \lambda)\mathbf{x}_2$是否仍属于集合$C$。

设$\mathbf{x}_1=(x_1,y_1)$，$\mathbf{x}_2=(x_2,y_2)$是集合$C$中的任意两个点，即满足：
$\begin{cases}x_1 + y_1\ge 1\\x_1\ge 0\\y_1\ge 0\end{cases}$和$\begin{cases}x_2 + y_2\ge 1\\x_2\ge 0\\y_2\ge 0\end{cases}$

对于任意的$\lambda\in[0,1]$，考虑点$\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}_1+(1 - \lambda)\mathbf{x}_2=(\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2,\lambda y_1+(1 - \lambda)y_2)$。

1. 判断$x + y$是否大于等于$1$：
   $x + y=\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2+\lambda y_1+(1 - \lambda)y_2$
   $=\lambda(x_1 + y_1)+(1 - \lambda)(x_2 + y_2)$
   因为$x_1 + y_1\ge 1$，$x_2 + y_2\ge 1$，且$\lambda\in[0,1]$，所以$\lambda(x_1 + y_1)\ge\lambda$，$(1 - \lambda)(x_2 + y_2)\ge 1-\lambda$。
   则$\lambda(x_1 + y_1)+(1 - \lambda)(x_2 + y_2)\ge\lambda+(1 - \lambda)=1$。

2. 判断$x$是否大于等于$0$：
   $x=\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2$
   因为$x_1\ge 0$，$x_2\ge 0$，且$\lambda\in[0,1]$，所以$\lambda x_1\ge 0$，$(1 - \lambda)x_2\ge 0$，则$x=\lambda x_1+(1 - \lambda)x_2\ge 0$。

3. 判断$y$是否大于等于$0$：
   $y=\lambda y_1+(1 - \lambda)y_2$
   因为$y_1\ge 0$，$y_2\ge 0$，且$\lambda\in[0,1]$，所以$\lambda y_1\ge 0$，$(1 - \lambda)y_2\ge 0$，则$y=\lambda y_1+(1 - \lambda)y_2\ge 0$。

综上，对于集合$C$中的任意两个点$\mathbf{x}_1$和$\mathbf{x}_2$，以及任意的$\lambda\in[0,1]$，$\lambda\mathbf{x}_1+(1 - \lambda)\mathbf{x}_2$都属于集合$C$，所以集合$C$是凸集。