4.(单选题,4.0分) 设随机变量(X,Y)满足方差D(X+Y)=D(X-Y),则必有A. X与Y独立B. X与Y不相关C. X与Y不独立D. (X)=0或D(Y)=0

本题考查随机变量的方差性质以及随机变量相关性的判断。解题的关键思路是利用方差的性质对$D(X + Y)$和$D(X - Y)$进行展开，然后根据已知条件$D(X + Y)=D(X - Y)$推导出$X$与$Y$的协方差，进而判断$X$与$Y$的相关性。

步骤一：根据方差性质展开$D(X + Y)$和$D(X - Y)$

根据方差的性质：对于任意两个随机变量$X$和$Y$，有$D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，$D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，其中$Cov(X,Y)$表示$X$与$Y$的协方差。

步骤二：结合已知条件进行等式推导

已知$D(X + Y)=D(X - Y)$，将上述展开式代入可得：
$D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$

步骤三：求解协方差$Cov(X,Y)$

对上述等式进行化简：
$\begin{align*}D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)&=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)\\2Cov(X,Y)+2Cov(X,Y)&=D(X)+D(Y)-(D(X)+D(Y))\\4Cov(X,Y)&=0\\Cov(X,Y)&=0\end{align*}$

步骤四：根据协方差判断$X$与$Y$的相关性

根据随机变量相关性的定义：若$Cov(X,Y)=0$，则称$X$与$Y$不相关。
由于我们已经求得$Cov(X,Y)=0$，所以$X$与$Y$不相关。

需要注意的是，$X$与$Y$不相关并不一定意味着$X$与$Y$独立，同时也不能得出$D(X)=0$或$D(Y)=0$。