24. (int )_(e)^sqrt (3x+9)dx.

本题考查不定积分的计算，解题思路是通过换元法将被积函数化简，然后再利用分部积分法进行求解。

1. 换元：
   令$t = \sqrt{3x + 9}$，则$t^2 = 3x + 9$，移项可得$x=\frac{t^2 - 9}{3}$。
   对$x=\frac{t^2 - 9}{3}$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，可得：
   $dx = \frac{2t}{3}dt$
   将$t = \sqrt{3x + 9}$和$dx = \frac{2t}{3}dt$代入原式$\int e^{\sqrt{3x + 9}}dx$，得到：
   $\int e^{\sqrt{3x + 9}}dx=\int e^t\cdot\frac{2t}{3}dt=\frac{2}{3}\int te^tdt$
2. 分部积分：
   根据分部积分公式$\int udv = uv - \int vdu$，对于$\frac{2}{3}\int te^tdt$，令$u = t$，$dv = e^tdt$。
   对$u = t$求导，可得$du = dt$；
   对$dv = e^tdt$积分，可得$v = e^t$。
   将$u$、$v$、$du$、$dv$代入分部积分公式，得到：
   $\frac{2}{3}\int te^tdt=\frac{2}{3}(te^t - \int e^tdt)$
3. 计算剩余积分：
   对$\int e^tdt$进行积分，根据基本积分公式$\int e^xdx = e^x + C$，可得$\int e^tdt = e^t + C$。
   将$\int e^tdt = e^t + C$代入上式，得到：
   $\frac{2}{3}(te^t - \int e^tdt)=\frac{2}{3}(te^t - e^t) + C$
4. 回代：
   将$t = \sqrt{3x + 9}$代回上式，得到：
   $\frac{2}{3}(te^t - e^t) + C=\frac{2}{3}\sqrt{3x + 9}e^{\sqrt{3x + 9}} - \frac{2}{3}e^{\sqrt{3x + 9}} + C$