题目
10、填空 设f(5)=2，int_(0)^5f(x)dx=4，则int_(0)^5xf'(x)dx=_____.(3分)
10、填空 设f(5)=2，$\int_{0}^{5}f(x)dx=4$，则$\int_{0}^{5}xf'(x)dx=$_____.(3分)
题目解答
答案
由分部积分公式，有
\[
\int_{0}^{5} xf'(x) \, dx = \left[ xf(x) \right]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} f(x) \, dx.
\]
根据题意，$f(5) = 2$，且 $\int_{0}^{5} f(x) \, dx = 4$。代入得
\[
\left[ xf(x) \right]_{0}^{5} = 5f(5) - 0f(0) = 5 \times 2 = 10,
\]
因此
\[
\int_{0}^{5} xf'(x) \, dx = 10 - 4 = 6.
\]
答案：6。
解析
本题考查定积分的分部积分法。解题思路是利用分部积分公式$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v = [uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$来计算$\int_{0}^{5}xf'(x)\mathrm{d}x$的值。
- 首先，根据分部积分公式，对于$\int_{0}^{5}xf'(x)\mathrm{d}x$，令$u = x$，$\mathrm{d}v = f'(x)\mathrm{d}x$。
- 对$u = x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$。
- 对$\mathrm{d}v = f'(x)\mathrm{d}x$积分，可得$v = f(x)$。
- 由分部积分公式$\int_{a}^{b}u\mathrm{d}v = [uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u$，则$\int_{0}^{5}xf'(x)\mathrm{d}x=[xf(x)]_{0}^{5}-\int_{0}^{5}f(x)\mathrm{d}x$。
- 然后，计算$[xf(x)]_{0}^{5}$的值：
- 根据牛顿 - 莱布尼茨公式$[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$，这里$F(x)=xf(x)$，所以$[xf(x)]_{0}^{5}=5f(5)-0\times f(0)$。
- 已知$f(5) = 2$，则$5f(5)-0\times f(0)=5\times2 - 0=10$。
- 最后，计算$\int_{0}^{5}xf'(x)\mathrm{d}x$的值：
- 已知$\int_{0}^{5}f(x)\mathrm{d}x = 4$，将$[xf(x)]_{0}^{5}=10$和$\int_{0}^{5}f(x)\mathrm{d}x = 4$代入$\int_{0}^{5}xf'(x)\mathrm{d}x=[xf(x)]_{0}^{5}-\int_{0}^{5}f(x)\mathrm{d}x$，可得$\int_{0}^{5}xf'(x)\mathrm{d}x=10 - 4=6$。