设曲线 L 为单位圆 x^2 + y^2 = 1 的第一象限部分，则 int_(L) x^2 , ds =A. 0B. (pi)/(8)C. (pi)/(4)D. (pi)/(2)

本题考查第一类曲线积分的计算。解题思路是先将曲线$L$用参数方程表示，然后根据第一类曲线积分的计算公式将曲线积分转化为定积分进行计算。

已知曲线$L$为单位圆$x^2 + y^2 = 1$的第一象限部分，可将其参数方程设为$\begin{cases}x = \cos t\\y = \sin t\end{cases}$，$t$的取值范围是从$0$到$\frac{\pi}{2}$。

根据弧长元素公式$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt$，对$x = \cos t$求导得$\frac{dx}{dt}=-\sin t$，对$y = \sin t$求导得$\frac{dy}{dt}=\cos t$，则：
$\begin{align*}ds&=\sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2}dt\\&=\sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t}dt\\&=dt\end{align*}$

将$x = \cos t$，$ds = dt$代入曲线积分$\int_{L} x^2 \, ds$中，可得：
$\begin{align*}\int_{L} x^2 \, ds&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \, dt\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2t) \, dt\\&=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt\right)\end{align*}$

分别计算两个定积分：

• 计算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt$：
  根据定积分基本公式$\int_{a}^{b} 1 \, dt = t\big|_{a}^{b}$，可得$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt = t\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$。
• 计算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt$：
  令$u = 2t$，则$du = 2dt$，当$t = 0$时，$u = 0$；当$t = \frac{\pi}{2}$时，$u = \pi$。
  $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \cos u \, du = \frac{1}{2}\sin u\big|_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}(\sin \pi - \sin 0) = 0$。

将上述结果代入$\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt\right)$可得：
$\begin{align*}\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt\right)&=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} + 0\right)\\&=\frac{\pi}{4}\end{align*}$