题目

int dfrac (cos 2x)(cos x+sin x)dx

题目解答

答案


那么

=$$\int(cosx-sinx)dx$$

解析

本题考查三角函数的积分计算，核心思路是利用三角恒等式将被积函数化简为容易积分的形式。关键在于将$\cos 2x$分解为$(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$，并发现原式可以简化为$\cos x - \sin x$，从而直接积分。

  1. 分解$\cos 2x$
    利用三角恒等式$\cos 2x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$，将原式中的$\cos 2x \cdot \cos x$部分展开：
    $\cos 2x \cdot \cos x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) \cdot \cos x$

  2. 合并项简化
    原积分式为：
    $\int \left[ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) \cdot \cos x + \sin x \right] dx$
    通过观察发现，展开后可进一步简化为：
    $\int (\cos x - \sin x) dx$

  3. 直接积分
    分别对$\cos x$和$-\sin x$积分：
    $\int \cos x \, dx = \sin x, \quad \int (-\sin x) dx = \cos x$