6.质点沿直线运动,初速v0,加速度 =-ksqrt (v), k为正常数,求:-|||-(1)质点完全静止所需的时间;-|||-(2)这段时间内运动的距离。

本题考查的是运动学中加速度与速度、位移的关系，通过积分的方法来求解质点完全静止所需的时间以及这段时间内运动的距离。解题的关键在于利用加速度的定义式$a = \frac{dv}{dt}$，结合已知条件建立积分方程进行求解。

（1）求质点完全静止所需的时间

已知加速度$a = -k\sqrt{v}$，根据加速度的定义$a=\frac{dv}{dt}$，可得：
$\frac{dv}{dt}=-k\sqrt{v}$
将上式变形为$\frac{dv}{\sqrt{v}}=-kdt$。
接下来对等式两边进行积分，积分下限和上限分别根据初始条件和末状态条件确定。
初始时刻$t = 0$时，速度$v = v_0$；当质点完全静止时，$v = 0$。
对$\frac{dv}{\sqrt{v}}=-kdt$两边积分：
$\int_{v_0}^{0}\frac{dv}{\sqrt{v}}=-k\int_{0}^{t}dt$
先计算左边的积分$\int_{v_0}^{0}\frac{dv}{\sqrt{v}}$，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对于$\int\frac{dv}{\sqrt{v}}=\int v^{-\frac{1}{2}}dv$，可得：
$\int v^{-\frac{1}{2}}dv=\frac{v^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C = 2\sqrt{v}+C$
所以$\int_{v_0}^{0}\frac{dv}{\sqrt{v}}=\left[2\sqrt{v}\right]_{v_0}^{0}=2\sqrt{0}-2\sqrt{v_0}=-2\sqrt{v_0}$
再计算右边的积分$-k\int_{0}^{t}dt=-k\left[t\right]_{0}^{t}=-kt$
则有$-2\sqrt{v_0}=-kt$，解得$t = \frac{2\sqrt{v_0}}{k}$。

（2）求这段时间内运动的距离

由$v=\frac{dx}{dt}$，可得$dx = vdt$。
由（1）中$\frac{dv}{\sqrt{v}}=-kdt$，变形可得$dt=-\frac{dv}{k\sqrt{v}}$，那么$dx = v\times(-\frac{dv}{k\sqrt{v}})=-\frac{1}{k}\sqrt{v}dv$。
对$dx = -\frac{1}{k}\sqrt{v}dv$两边积分求位移$x$，初始时刻$t = 0$时，$v = v_0$；当$t=\frac{2\sqrt{v_0}}{k}$时，$v = 0$。
$\int_{0}^{x}dx=-\frac{1}{k}\int_{v_0}^{0}\sqrt{v}dv$
先计算右边的积分$-\frac{1}{k}\int_{v_0}^{0}\sqrt{v}dv=-\frac{1}{k}\int_{v_0}^{0}v^{\frac{1}{2}}dv$，根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得：
$-\frac{1}{k}\int_{v_0}^{0}v^{\frac{1}{2}}dv=-\frac{1}{k}\left[\frac{v^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_{v_0}^{0}=-\frac{1}{k}\left[\frac{2}{3}v^{\frac{3}{2}}\right]_{v_0}^{0}$
$=-\frac{1}{k}\left(0 - \frac{2}{3}v_0^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{2}{3k}v_0^{\frac{3}{2}}$
左边$\int_{0}^{x}dx=\left[x\right]_{0}^{x}=x$
所以$x = \frac{2}{3k}v_0^{\frac{3}{2}}$。