题目

4.（20.0分） 下列函数中，哪个是微分方程y'+(y)/(x)=x的解？____. A. y=(x^3)/(3)+1 B. y=(x^2)/(3)+1 C. y=(x^2)/(3)+(1)/(x) D. y=(x^3)/(3)+(1)/(x)

4.（20.0分） 下列函数中，哪个是微分方程$y'+\frac{y}{x}=x$的解？____.
A. $y=\frac{x^{3}}{3}+1$
B. $y=\frac{x^{2}}{3}+1$
C. $y=\frac{x^{2}}{3}+\frac{1}{x}$
D. $y=\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{x}$

题目解答

答案

为了确定哪个函数是微分方程 $ y' + \frac{y}{x} = x $ 的解，我们需要将每个给定的函数代入微分方程中，检查它是否满足方程。 让我们从函数 $ y = \frac{x^3}{3} + 1 $（选项A）开始。 1. 计算 $ y' $： \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} + 1 \right) = x^2 \] 2. 将 $ y $ 和 $ y' $ 代入微分方程： \[ y' + \frac{y}{x} = x^2 + \frac{\frac{x^3}{3} + 1}{x} = x^2 + \frac{x^2}{3} + \frac{1}{x} = \frac{4x^2}{3} + \frac{1}{x} \] 由于 $ \frac{4x^2}{3} + \frac{1}{x} \neq x $，函数 $ y = \frac{x^3}{3} + 1 $ 不是解。 接下来，让我们尝试函数 $ y = \frac{x^2}{3} + 1 $（选项B）。 1. 计算 $ y' $： \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{3} + 1 \right) = \frac{2x}{3} \] 2. 将 $ y $ 和 $ y' $ 代入微分方程： \[ y' + \frac{y}{x} = \frac{2x}{3} + \frac{\frac{x^2}{3} + 1}{x} = \frac{2x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \] 由于 $ x + \frac{1}{x} \neq x $，函数 $ y = \frac{x^2}{3} + 1 $ 不是解。 接下来，让我们尝试函数 $ y = \frac{x^2}{3} + \frac{1}{x} $（选项C）。 1. 计算 $ y' $： \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{3} + \frac{1}{x} \right) = \frac{2x}{3} - \frac{1}{x^2} \] 2. 将 $ y $ 和 $ y' $ 代入微分方程： \[ y' + \frac{y}{x} = \frac{2x}{3} - \frac{1}{x^2} + \frac{\frac{x^2}{3} + \frac{1}{x}}{x} = \frac{2x}{3} - \frac{1}{x^2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{x^2} = x \] 由于 $ x = x $，函数 $ y = \frac{x^2}{3} + \frac{1}{x} $ 是解。 最后，让我们尝试函数 $ y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} $（选项D）。 1. 计算 $ y' $： \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} \right) = x^2 - \frac{1}{x^2} \] 2. 将 $ y $ 和 $ y' $ 代入微分方程： \[ y' + \frac{y}{x} = x^2 - \frac{1}{x^2} + \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{1}{x}}{x} = x^2 - \frac{1}{x^2} + \frac{x^2}{3} + \frac{1}{x^2} = \frac{4x^2}{3} \] 由于 $ \frac{4x^2}{3} \neq x $，函数 $ y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} $ 不是解。 因此，正确答案是 $\boxed{C}$。

解析

本题考查一阶线性微分方程的解的验证，解题思路是将每个选项中的函数分别求导，然后将函数及其导数代入给定的微分方程$y'+\frac{y}{x}=x$，看等式是否成立，若成立则该函数为方程的解。

选项A

已知函数$y = \frac{x^3}{3} + 1$，对其求导：
根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，可得$y^\prime=\frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3} + 1)=\frac{3x^2}{3}+0 = x^2$。
将$y$和$y^\prime$代入微分方程$y'+\frac{y}{x}$得：
$y'+\frac{y}{x}=x^2+\frac{\frac{x^3}{3} + 1}{x}=x^2+\frac{x^2}{3}+\frac{1}{x}=\frac{4x^2}{3}+\frac{1}{x}\neq x$
所以$y = \frac{x^3}{3} + 1$不是该微分方程的解。

选项B

已知函数$y = \frac{x^2}{3} + 1$，对其求导：
$y^\prime=\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{3} + 1)=\frac{2x}{3}+0=\frac{2x}{3}$。
将$y$和$y^\prime$代入微分方程$y'+\frac{y}{x}$得：
$y'+\frac{y}{x}=\frac{2x}{3}+\frac{\frac{x^2}{3} + 1}{x}=\frac{2x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}\neq x$
所以$y = \frac{x^2}{3} + 1$不是该微分方程的解。

选项C

已知函数$y = \frac{x^2}{3} + \frac{1}{x}=\frac{x^2}{3}+x^{-1}$，对其求导：
$y^\prime=\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{3}+x^{-1})=\frac{2x}{3}-x^{-2}=\frac{2x}{3}-\frac{1}{x^2}$。
将$y$和$y^\prime$代入微分方程$y'+\frac{y}{x}$得：
$\begin{align*}y'+\frac{y}{x}&=\frac{2x}{3}-\frac{1}{x^2}+\frac{\frac{x^2}{3} + \frac{1}{x}}{x}\\&=\frac{2x}{3}-\frac{1}{x^2}+\frac{x}{3}+\frac{1}{x^2}\\&=(\frac{2x}{3}+\frac{x}{3})+(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2})\\&=x\end{align*}$
等式成立，所以$y = \frac{x^2}{3} + \frac{1}{x}$是该微分方程的解。

选项D

已知函数$y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x}=\frac{x^3}{3}+x^{-1}$，对其求导：
$y^\prime=\frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3}+x^{-1})=x^2 - x^{-2}=x^2-\frac{1}{x^2}$。
将$y$和$y^\prime$代入微分方程$y'+\frac{y}{x}$得：
$\begin{align*}y'+\frac{y}{x}&=x^2-\frac{1}{x^2}+\frac{\frac{x^3}{3} + \frac{1}{x}}{x}\\&=x^2-\frac{1}{x^2}+\frac{x^2}{3}+\frac{1}{x^2}\\&=(x^2+\frac{x^2}{3})+(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2})\\&=\frac{4x^2}{3}\neq x\end{align*}$
所以$y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x}$不是该微分方程的解。