题目
用初等行变换的方法求非齐次线性方程组 } 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 4 x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -5 3x_1 + 8x_2 - 2x_3 = 13 4x_1 - x_2 + 9x_3 = -6 的通解，并用矩阵表达式表示.
用初等行变换的方法求非齐次线性方程组 $\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 4 \\ x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -5 \\ 3x_1 + 8x_2 - 2x_3 = 13 \\ 4x_1 - x_2 + 9x_3 = -6 \end{cases}$ 的通解，并用矩阵表达式表示.
题目解答
答案
将方程组写成增广矩阵并进行初等行变换：
\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 & 4 \\
1 & -2 & 4 & -5 \\
3 & 8 & -2 & 13 \\
4 & -1 & 9 & -6
\end{pmatrix}
\]
交换第1、2行，消去第1列：
\[
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 4 & -5 \\
0 & 7 & -7 & 14 \\
0 & 14 & -14 & 28 \\
0 & 7 & -7 & 14
\end{pmatrix}
\]
化简得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 4 & -5 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
对应方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -5 \\
x_2 - x_3 = 2
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
x_1 = -1 - 2t \\
x_2 = 2 + t \\
x_3 = t
\end{cases}
\]
其中 $t$ 为任意常数。通解可表示为：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix} + k \begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
}
\]
（或 $\boxed{
\begin{cases}
x_1 = -1 - 2k \\
x_2 = 2 + k \\
x_3 = k
\end{cases}
}$，其中 $k$ 为任意常数。）
解析
本题考查非齐次线性方程组的求解，解题思路是先将非齐次线性方程组写成增广矩阵，然后通过初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵，再根据行最简形矩阵写出对应的同解方程组，求解同解方程组得到通解，最后用矩阵表达式表示通解。
- 将方程组写成增广矩阵：
已知非齐次线性方程组$\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 4 \\ x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -5 \\ 3x_1 + 8x_2 - 2x_3 = 13 \\ 4x_1 - x_2 + 9x_3 = -6 \end{cases}$，其增广矩阵为$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 4 & -5 \\ 3 & 8 & -2 & 13 \\ 4 & -1 & 9 & -6 \end{pmatrix}$。 - 进行初等行变换：
- 交换第$1$、$2$行，得到$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -5 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 8 & -2 & 13 \\ 4 & -1 & 9 & -6 \end{pmatrix}$。
- 第$2$行减去第$1$行的$2$倍，第$3$行减去第$1$行的$3$倍，第$4$行减去第$1$行的$4$倍，即$r_2 - 2r_1$，$r_3 - 3r_1$，$r_4 - 4r_1$，可得：
$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -5 \\ 2 - 2\times1 & 3 - 2\times(-2) & 1 - 2\times4 & 4 - 2\times(-5) \\ 3 - 3\times1 & 8 - 3\times(-2) & -2 - 3\times4 & 13 - 3\times(-5) \\ 4 - 4\times1 & -1 - 4\times(-2) & 9 - 4\times4 & -6 - 4\times(-5) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -5 \\ 0 & 7 & -7 & 14 \\ 0 & 14 & -14 & 28 \\ 0 & 7 & -7 & 14 \end{pmatrix}$。 - 第$3$行减去第$2$行的$2$倍，第$4$行减去第$2$行，即$r_3 - 2r_2$，$r_4 - r_2$，可得：
$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -5 \\ 0 & 7 & -7 & 14 \\ 0 - 2\times0 & 14 - 2\times7 & -14 - 2\times(-7) & 28 - 2\times14 \\ 0 - 0 & 7 - 7 & -7 - (-7) & 14 - 14 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -5 \\ 0 & 7 & -7 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。 - 第$2$行除以$7$，即$\frac{1}{7}r_2$，可得：
$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -5 \\ 0 & \frac{7}{7} & \frac{-7}{7} & \frac{14}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
- 写出同解方程组并求解：
行最简形矩阵对应的同解方程组为$\begin{cases} x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -5 \\ x_2 - x_3 = 2 \end{cases}$。
由$x_2 - x_3 = 2$可得$x_2 = 2 + x_3$，令$x_3 = t$（$t$为任意常数），则$x_2 = 2 + t$。
将$x_2 = 2 + t$，$x_3 = t$代入$x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -5$，可得：
$x_1 - 2(2 + t) + 4t = -5$，
$x_1 - 4 - 2t + 4t = -5$，
$x_1 + 2t = -1$，
解得$x_1 = -1 - 2t$。
所以方程组的通解为$\begin{cases} x_1 = -1 - 2t \\ x_2 = 2 + t \\ x_3 = t \end{cases}$（$t$为任意常数）。 - 用矩阵表达式表示通解：
将通解写成矩阵形式$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 2t \\ 2 + t \\ t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，令$k=t$（$k$为任意常数），则通解的矩阵表达式为$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + k\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。