3.(1306)已知函数f(x)在点x=1处连续，且lim_(xto1)(f(x))/(x^2)-1=(1)/(2)，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为（）A. y=x-1B. y=2x-2C. y=3x-3D. y=4x-4

本题考查函数连续性、极限以及导数的几何意义，解题的关键在于利用函数连续性求出$f(1)$的值，再通过极限求出$f^\prime(1)$，最后根据点斜式方程求出切线方程。

1. 求$f(1)$的值：
   已知$\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}$，当$x\to1$时，分母$x^{2}-1\to1^{2}-1 = 0$。
   因为该极限存在且为$\frac{1}{2}$，若$\lim_{x\to1}f(x)\neq0$，则$\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x^{2}-1}$为无穷大，这与已知极限值矛盾，所以$\lim_{x\to1}f(x)=0$。
   又因为函数$f(x)$在点$x = 1$处连续，根据函数连续性的定义：$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，可得$f(1)=\lim_{x\to1}f(x)=0$。
2. 求$f^\prime(1)$的值：
   根据导数的定义$f^\prime(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x - 1}$，由$f(1)=0$，则$f^\prime(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x - 1}$。
   已知$\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}$，对分母进行因式分解$x^{2}-1=(x - 1)(x + 1)$，则$\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x^{2}-1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{1}{2}$。
   所以$\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x - 1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{(x - 1)(x + 1)}\cdot(x + 1)$，根据极限的运算法则$\lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)$，可得：
   $\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x - 1}=\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{(x - 1)(x + 1)}\cdot\lim_{x\to1}(x + 1)=\frac{1}{2}\times(1 + 1)=1$，即$f^\prime(1)=1$。
3. 求切线方程：
   根据导数的几何意义，函数$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线斜率$k = f^\prime(x_0)$，所以曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线斜率$k = f^\prime(1)=1$。
   已知切线过点$(1,f(1))=(1,0)$，斜率为$1$，根据直线的点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$（其中$(x_0,y_0)$为直线上一点，$k$为直线斜率），可得切线方程为$y - 0 = 1\times(x - 1)$，即$y = x - 1$。