2. (4.0分)微分方程ydx-x²dy=0的通解为 A. y=c(e^x) B. y=c(1)/(e^x) C. y=c(e^-(1)/(x)) D. y=c(e^x)

本题考查可分离变量的微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程进行变量分离，然后对分离后的方程两边分别积分，最后通过指数运算得到通解。

1. 变量分离：
   已知微分方程$ydx - x^2dy = 0$，移项可得$ydx = x^2dy$。
   因为要求通解，所以$y\neq0$且$x\neq0$，两边同时除以$yx^2$，得到$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x^2}$。
2. 两边积分：
   对$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x^2}$两边分别积分。
   根据积分公式$\int\frac{1}{y}dy=\ln|y| + C_1$，$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C_2$（$n\neq -1$），对$\int\frac{dx}{x^2}$，其中$n=-2$，则$\int\frac{dx}{x^2}=\int x^{-2}dx=\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1}+C_2=-\frac{1}{x}+C_2$。
   所以$\ln|y|=-\frac{1}{x}+C$（$C = C_2 - C_1$为任意常数）。
3. 指数化求解通解：
   为了得到$y$的表达式，对$\ln|y|=-\frac{1}{x}+C$两边同时取指数，根据对数函数与指数函数的关系$e^{\ln a}=a$，可得$|y| = e^{-\frac{1}{x}+C}=e^C\cdot e^{-\frac{1}{x}}$。
   令$C_1 = \pm e^C$（$C_1$为任意非零常数），当$C_1 = 0$时，$y = 0$也是原方程的解，所以通解为$y = C e^{-\frac{1}{x}}$（$C$为任意常数）。