题目

下列函数的展开成 x 的幂级数，错误的是（） A. e^4x = sum_(n=0)^infty (4^n)/(n!) x^n，-infty < x < +infty；B. (1)/(2+3x) = sum_(n=0)^infty ((-1)^n 3^n)/(2^n+1) x^n，-(2)/(3) < x < (2)/(3)；C. arctan (1-x)/(1+x) = (pi)/(4) + sum_(n=0)^infty (-1)^n+1 (x^2n+1)/(2n+1)，x in (-1, 1)；D. cos^2 x = (1)/(2) sum_(n=0)^infty (-1)^n (4^n)/((2n)!) x^2n，-infty < x < +infty。

下列函数的展开成 $x$ 的幂级数，错误的是（）

  • A. $e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} x^n$，$-\infty < x < +\infty$；
  • B. $\frac{1}{2+3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n}{2^{n+1}} x^n$，$-\frac{2}{3} < x < \frac{2}{3}$；
  • C. $\arctan \frac{1-x}{1+x} = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，$x \in (-1, 1)$；
  • D. $\cos^2 x = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n}$，$-\infty < x < +\infty$。

题目解答

答案

为了确定哪个函数的展开成 $ x $ 的幂级数是错误的，我们需要逐个分析每个选项。 **选项 A: $ e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} x^n, -\infty < x < +\infty $** 函数 $ e^x $ 的幂级数展开为 $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $。将 $ x $ 替换为 $ 4x $，我们得到 $ e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} x^n $。这个展开对所有 $ x $ 都成立。因此，选项 A 是正确的。 **选项 B: $ \frac{1}{2+3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n}{2^{n+1}} x^n, -\frac{2}{3} < x < \frac{2}{3} $** 函数 $ \frac{1}{1+y} $ 的幂级数展开为 $ \frac{1}{1+y} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n y^n $ 对于 $ |y| < 1 $。将 $ y $ 替换为 $ \frac{3x}{2} $，我们得到 $ \frac{1}{2+3x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{3x}{2}} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{3x}{2} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n}{2^{n+1}} x^n $。这个展开对于 $ \left| \frac{3x}{2} \right| < 1 $，即 $ -\frac{2}{3} < x < \frac{2}{3} $ 成立。因此，选项 B 是正确的。 **选项 C: $ \arctan \frac{1-x}{1+x} = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, x \in (-1, 1] $** 函数 $ \arctan x $ 的幂级数展开为 $ \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ 对于 $ |x| \leq 1 $。为了找到 $ \arctan \frac{1-x}{1+x} $ 的展开，我们使用恒等式 $ \arctan \frac{1-x}{1+x} = \frac{\pi}{4} - \arctan x $。因此，$ \arctan \frac{1-x}{1+x} = \frac{\pi}{4} - \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $。这个展开对于 $ |x| \leq 1 $ 成立，但选项 C 只表明 $ x \in (-1, 1] $，这不包括 $ x = -1 $。因此，选项 C 是不正确的。 **选项 D: $ \cos^2 x = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n}, -\infty < x < +\infty $** 使用恒等式 $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $ 和 $ \cos y $ 的幂级数展开 $ \cos y = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{y^{2n}}{(2n)!} $，我们将 $ y $ 替换为 $ 2x $ 得到 $ \cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n} $。因此，$ \cos^2 x = \frac{1}{2} \left( 1 + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n} $。然而，选项 D 没有包含常数项 $ \frac{1}{2} $，所以它不正确。但让我们通过与给定的选项比较来验证：$ \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n} = \frac{1}{2} \left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n} $。这与 $ \cos^2 x $ 的展开相匹配，除了 $ n = 0 $ 的项，所以选项 D 是不正确的。 由于选项 C 是唯一不包括 $ x = -1 $ 的，但 $ \arctan \frac{1-x}{1+x} $ 的幂级数展开对于 $ |x| \leq 1 $ 成立，因此不正确的选项是 $\boxed{C}$。

解析

本题主要考查常见函数的幂级数展开式以及幂级数展开的收敛区间。解题思路是根据已知的常见函数幂级数展开公式，对每个选项逐一进行分析和推导，判断其展开式和收敛区间是否正确。

选项A

已知指数函数$e^x$的幂级数展开式为$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$，$-\infty < x < +\infty$。
将$x$替换为$4x$，可得：
$e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} x^n$
因为$e^x$的展开式对所有$x$都成立，所以$e^{4x}$的展开式也对所有$x$都成立，即$-\infty < x < +\infty$。因此，选项A正确。

选项B

已知函数$\frac{1}{1 + y}$的幂级数展开式为$\frac{1}{1 + y} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n y^n$，其收敛区间为$\vert y \vert < 1$。
对于$\frac{1}{2 + 3x}$，可变形为$\frac{1}{2 + 3x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{3x}{2}}$。
令$y = \frac{3x}{2}$，则$\frac{1}{2 + 3x} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{3x}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n}{2^{n + 1}} x^n$。
由$\vert \frac{3x}{2} \vert < 1$，解不等式可得：
$-1 < \frac{3x}{2} < 1$
$-\frac{2}{3} < x < \frac{2}{3}$
所以该展开式的收敛区间为$-\frac{2}{3} < x < \frac{2}{3}$，选项B正确。

选项C

已知反正切函数$\arctan x$的幂级数展开式为$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}$，其收敛区间为$\vert x \vert \leq 1$。
利用恒等式$\arctan \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{\pi}{4} - \arctan x$，可得：
$\arctan \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{\pi}{4} - \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n + 1} \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}$
该展开式的收敛区间为$\vert x \vert \leq 1$，即$x \in [-1, 1]$，而选项C中给出的收敛区间为$x \in (-1, 1]$，不包含$x = -1$，所以选项C错误。

选项D

利用三角函数的二倍角公式$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$，以及余弦函数$\cos y$的幂级数展开式$\cos y = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{y^{2n}}{(2n)!}$，$-\infty < y < +\infty$。
令$y = 2x$，则$\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n}$。
所以$\cos^2 x = \frac{1}{2} (1 + \cos 2x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n}$。
而选项D中$\cos^2 x = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n}{(2n)!} x^{2n}$，缺少常数项$\frac{1}{2}$，所以选项D错误。

由于题目要求选择错误的选项，且选项C是唯一在收敛区间上不完整的错误，所以答案选C。