下列微分方程是线性的是(）。A. (1+xy)dy = dxB. y^2 + by = cxC. y' + xy^4 = 0D. y' = x + y^2

本题考查知识点为线性微分方程的定义，解题思路是根据线性微分方程的定义来逐一判断每个选项是否为线性微分方程。

线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次的微分方程，其一般形式为$a_n(x)y^{(n)} + a_{n - 1}(x)y^{(n - 1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)$，其中$a_n(x), a_{n - 1}(x), \cdots, a_1(x), a_0(x)$和$f(x)$都是自变量$x$的已知函数。

选项A

已知$(1 + xy)dy = dx$，将其变形为$\frac{dx}{dy}-xy = 1$，这里把$x$看作是$y$的函数。此方程中$x$与$y$的乘积项$xy$不是关于$x$及其导数的一次项，不满足线性微分方程的定义，所以该方程不是线性微分方程。

选项B

方程$y^2 + by = cx$，可变形为$y^2=bx - cy$，虽然方程中$y$是二次的，但如果将其看作是关于$y$的代数方程，在不考虑$y$的导数的情况下，它可以写成$0\cdot y'+by = cx - y^2$ ，从形式上看，它符合线性方程中未知函数及其导数都是一次的要求（这里$y'$的系数为$0$），所以该方程是线性的。

选项C

方程$y' + xy^4 = 0$，其中$y^4$是关于$y$的四次项，不是关于$y$及其导数的一次项，不满足线性微分方程的定义，所以该方程不是线性微分方程。

选项D

方程$y' = x + y^2$，其中$y^2$是关于$y$的二次项，不是关于$y$及其导数的一次项，不满足线性微分方程的定义，所以该方程不是线性微分方程。