题目
设 A 为 n 阶方阵,r(A)=n-2,则 Ax=0 基础解系所含向量个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵,$r(A)=n-2$,则 $Ax=0$ 基础解系所含向量个数是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
题目解答
答案
C. 2
解析
本题考查齐次线性方程组基础解系所含向量个数与系数矩阵秩的关系。解题思路是根据齐次线性方程组的性质,利用系数矩阵的秩来计算基础解系所含向量的个数。
对于齐次线性方程组 $Ax = 0$,其中 $A$ 是 $n$ 阶方阵,设基础解系所含向量个数为 $s$。根据线性代数的重要定理,有公式 $s=n - r(A)$,这里 $n$ 是未知数的个数(也就是矩阵 $A$ 的列数),$r(A)$ 是矩阵 $A$ 的秩。
已知 $A$ 为 $n$ 阶方阵,即未知数个数 $n$ 就是矩阵 $A$ 的阶数,且 $r(A)=n - 2$。
将 $r(A)=n - 2$ 代入公式 $s=n - r(A)$ 可得:
$s=n-(n - 2)$
去括号:$s=n - n+2$
计算得:$s = 2$