题目

有一并联回路在某频段内工作,频段最低频率为 535 , (kHz),最高频率为 1605 , (kHz)。现有两个可变电容器,一个电容器的最小电容量为 12 , (pF),最大电容量为 100 , (pF);另一个电容器的最小电容量为 15 , (pF),最大电容量为 450 , (pF)。试问:(1) 应采用哪一个可变电容器,为什么?(2) 回路电感应等于多少?(3) 绘出实际的并联回路图。

有一并联回路在某频段内工作,频段最低频率为 $535 \, \text{kHz}$,最高频率为 $1605 \, \text{kHz}$。现有两个可变电容器,一个电容器的最小电容量为 $12 \, \text{pF}$,最大电容量为 $100 \, \text{pF}$;另一个电容器的最小电容量为 $15 \, \text{pF}$,最大电容量为 $450 \, \text{pF}$。试问:

(1) 应采用哪一个可变电容器,为什么?

(2) 回路电感应等于多少?

(3) 绘出实际的并联回路图。

题目解答

答案

1. 根据 $ f_{\text{max}}/f_{\text{min}} = 3 $，需 $ C_{\text{总max}}/C_{\text{总min}} = 9 $。 - 第一个电容器：$ \frac{100 + C_s}{12 + C_s} = 9 \implies C_s = -1 \, \text{pF} $（不可行）。 - 第二个电容器：$ \frac{450 + C_s}{15 + C_s} = 9 \implies C_s = 39.375 \, \text{pF} $（可行）。 故应选第二个电容器（15 pF ~ 450 pF），并联 $ C_s = 39.375 \, \text{pF} $。 2. 根据 $ f_{\text{max}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L C_{\text{总min}}}} $，$ C_{\text{总min}} = 54.375 \, \text{pF} $： \[ L = \frac{1}{4\pi^2 f_{\text{max}}^2 C_{\text{总min}}} = \frac{1}{39.4784 \times 2.576025 \times 10^{12} \times 54.375 \times 10^{-12}} \approx 181 \, \mu\text{H} \] 3. 实际并联回路图： ``` L ┌─┴─┐ │ │ C_s ──┤ ├── C_v (15~450 pF) │ │ └─┬─┘ │ GND ``` （$ L \approx 181 \, \mu\text{H} $，$ C_s = 39.375 \, \text{pF} $。）

解析

本题主要考查并联谐振回路的频率特性、电容选择以及回路电感计算，同时需要绘制实际的并联回路图。解题思路如下：

  1. 选择合适的可变电容器：
    • 对于并联谐振回路，其谐振频率公式为$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$。在可变电容器与固定电容$C_s$并联的情况下，当可变电容器电容量从最小值$C_{min}$变为最大值$C_{max}$时，回路总电容量从$C_{总min}=C_{min}+C_s$变为$C_{总max}=C_{max}+C_s$。
    • 已知频段最低频率$f_{min}$和最高频率$f_{max}$，根据$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$可得$\frac{f_{max}}{f_{min}}=\sqrt{\frac{C_{总min}}{C_{总max}}}$。
    • 已知$f_{min}=535 \, \text{kHz}$，$f_{max}=1605 \, \text{kHz}$，则$\frac{f_{max}}{f_{min}}=\frac{1605}{535}=3$，所以$\frac{C_{总max}}{C_{总min}} = (\frac{f_{max}}{f_{min}})^2 = 3^2 = 9$。
    • 对于第一个可变电容器，$C_{min1}=12 \, \text{pF}$，$C_{max1}=100 \, \text{pF}$，设固定电容为$C_{s1}$，由$\frac{C_{总max1}}{C_{总min1}}=\frac{100 + C_{s1}}{12 + C_{s1}} = 9$，解方程：
      $\begin{align*}100 + C_{s1}&=9\times(12 + C_{s1})\\100 + C_{s1}&=108 + 9C_{s1}\\9C_{s1}-C_{s1}&=100 - 108\\8C_{s1}&=-8\\C_{s1}&=-1 \, \text{pF}\end{align*}$
      因为电容值不能为负，所以该电容器不可行。
    • 对于第二个可变电容器，$C_{min2}=15 \, \text{pF}$，$C_{max2}=450 \, \text{pF}$，设固定电容为$C_{s2}$，由$\frac{C_{总max2}}{C_{总min2}}=\frac{450 + C_{s2}}{15 + C_{s2}} = 9$，解方程：
      $\begin{align*}450 + C_{s2}&=9\times(15 + C_{s2})\\450 + C_{s2}&=135 + 9C_{s2}\\9C_{s2}-C_{s2}&=450 - 135\\8C_{s2}&=315\\C_{s2}&=\frac{315}{8}=39.375 \, \text{pF}\end{align*}$
      电容值为正，可行，所以应选择第二个可变电容器。
  2. 计算回路电感：
    • 当可变电容器取最小值$C_{min2}=15 \, \text{pF}$时，回路总电容量$C_{总min}=C_{min2}+C_{s2}=15 + 39.375 = 54.375 \, \text{pF}$。
    • 已知$f_{max}=1605 \, \text{kHz}=1605\times10^3 \, \text{Hz}$，根据$f_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_{总min}}}$，可得$L = \frac{1}{4\pi^2 f_{max}^2 C_{总min}}$。
    • 计算$4\pi^2\approx39.4784$，$f_{max}^2=(1605\times10^3)^2 = 2.576025\times10^{12}$，$C_{总min}=54.375\times10^{-12} \, \text{F}$，则：
      $\begin{align*}L&=\frac{1}{39.4784\times2.576025\times10^{12}\times54.375\times10^{-12}}\\&=\frac{1}{39.4784\times2.576025\times54.375}\\&\approx181\times10^{-6} \, \text{H}\\&=181 \, \mu\text{H}\end{align*}$
  3. 绘制实际的并联回路图：
    • 实际的并联回路由电感$L$、固定电容$C_s$和可变电容器$C_v$并联组成，一端接地。